东南大学 2008 年考研量子力学

贡献者：待更新

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　　 1.（15 分）量子体系守恒量完全集 ${H, A, \dots}$ 的归一化共同本征态为 $| n ⟩$ ，( $n = 1, 2, \dots$ )，即 $H | n ⟩ = E_{n} | n ⟩$ ， $A | n ⟩ = A_{n} | n ⟩$ ，……

(1) 用 $| n ⟩$ 分别写出正交归一性和完备性的表达式；
(2) 设 $t = 0$ 时刻的归一化量子态为 $| ψ (0) ⟩ = \sum_{n} c_{n} | n ⟩$ ，试求 $| ψ (t) ⟩$ ；
(3) 求 $t$ 时刻的平均值 $E (t)$ 和 $A (t)$ 。

　　 2.（15 分）质量为 $m$ 的粒子作一维运动，处于势阱 $V (x) = - γ δ (x)$ ,( $γ > 0$ )。求束缚态的归一化波函数和束缚态能级。

　　 3.（15 分）设质量为 $m$ 的粒子以能量 $E > 0$ 从左入射，碰到下列势阱，求反射系数和透射系数。提示：几率流密度为 $j (x) = (ℏ / i 2 m) (ψ^{*} ψ^{'} - ψ^{*^{'}} ψ)$ 。 $V (x) = {\begin{cases} - V_{0}, & x < 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$

　　 4.（15 分） 设粒子处在 ${\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{z}$ 的共同本征态 $| l r m ⟩$ 。

(1) 利用角动量的对易关系证明 $L_{x} = L_{y} = 0$ 。
(2) 求 $\overset{―}{(Δ L_{z})^{2}}$ 与 $\overset{―}{(Δ L_{y})^{2}}$ ，其中 $Δ L_{z} = {\hat{L}}_{z} - {\hat{L}}_{z}$ , $Δ L_{y} = {\hat{L}}_{y} - {\hat{L}}_{y}$ 。

　　 5.(15 分)以下对称性是否导致一个守恒量，如果是，请指出相应的守量
(1)空间反演对称性: (2)空间平移对称性; (3)空间转动对称性:(4)时间反演对称性:(5)时间平移对称性。

　　 6.(15)设缺金属原子的价电子处于中心力场 $V (r)$ 中，守恒量完全集 ${\hat{H}, {\hat{l}}^{2}, l_{z}}$ 的共同本征函数数为 $ψ_{n l m} (r, θ, ϕ) = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, ϕ)$ ，能量本征值为 $E_{n l}$ 。

若外加强磁场 $B$ ，求能量本征值。提示：价电子的朗德因子为 $H = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 μ} + V (r) + ω_{L} {\hat{l}}_{z}, (ω_{L} = \frac{e B}{2 μ c})$
求有磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态（ $l = 1$ ）跃迁到 $s$ 态（ $l = 0$ ）的光谱线频率（跃迁过程保持 $n_{e}$ 不变）。

　　 7.(15 分)设体系由 2 个全同粒子组成，每个粒子可处于 3 个单粒子态 $| i ⟩, | j ⟩, | k ⟩$ 中的任何一个，分别在以下两种情况下写出体系可能的量子态：

全同 Bose 子；
全同 Fermi 子。

　　 8.(15 分)设电子自旋角动量算符为 $\hat{S} = (ℏ / 2) \hat{σ}$ 。 ${\hat{σ}}_{z}$ 的正交归一本征态为 $| \pm ⟩$ ，即 ${\hat{σ}}_{z} | \pm ⟩ = \pm | \pm ⟩$ 。求 ${\hat{σ}}_{x} | \pm ⟩, {\hat{σ}}_{y} | \pm ⟩,$ 。

　　 9.(15 分)设体系的未微扰哈密顿量 $H_{0}$ 和微扰哈密顿量 $H^{'}$ 分别为

\begin{matrix} (1) & H_{0} = (\begin{matrix} E_{1}^{(0)} & 0 \\ 0 & E_{2}^{(0)} \end{matrix}), (E_{1}^{(0)} \neq E_{2}^{(0)}), H^{'} = (\begin{matrix} a & b \\ b^{*} & a \end{matrix}) \end{matrix}

试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。
提示：非简并微扰论的能级修正公式为

\begin{matrix} (2) & E_{k} = E_{k}^{(0)} + ⟨ k | {\hat{H}}^{'} | k ⟩ + \sum_{n \neq k} \frac{⟨ k | {\hat{H}}^{'} | n ⟩ ⟨ n | {\hat{H}}^{'} | k ⟩}{E_{k}^{(0)} - E_{n}^{(0)}} \end{matrix}

　　 10.(15 分)一质量为 $m$ ，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均分磁场 $B$ 方向中，其哈密顿算符（不计轨道运动）为 $\hat{H} = \frac{e B}{m c} {\hat{S}}_{z}$ ，其中 ${\hat{S}}_{z}$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t = 0$ 时电子的自旋态为 $S_{z}$ 的本征态，相应的本征值为 $ℏ / 2$ ，试求：

t (> 0) 时刻该电子的自旋态；
t (> 0) 时刻 $\hat{S}$ 的平均值。

　　提示：泡利矩阵为

　　 $σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$

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东南大学 2008 年 考研 量子力学

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