东南大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 一.

　　 设质量为 $m$ 的粒子在一维 $\delta(x)$ 势场

　　 \[ V(x) = -V_0 \delta(x)~ \] 中运动，其中 $V_0 > 0$。试求：

1. 粒子处于束缚态时的能级和对应的态函数；$\qquad $(15 分)
2. 若粒子以能量 $E > 0$ 左入射上述势场，计算粒子的透射系数。$\qquad $ (10 分)

2. 二.

　　 一个二维振子，其哈密顿量为

　　 \[ H = \frac{1}{2} (p_x^2 + p_y^2) + \frac{1}{2} (1 + \beta xy)(x^2 + y^2)~ \]

　　 其中 $\hbar = 1$ 和 $\beta \ll 1$。试求：

1. 当 $\beta = 0$ 时，振子的能级和波函数；$\qquad $ (10 分)
2. 当 $\beta \neq 0$ 时，第一激发态的能级修正（计算至一级微扰）。$\qquad $ (15 分)

3. 三.

　　 试利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量.$\qquad $ (20 分)

4. 四.

　　 设一个自旋为 1，电荷为 $e$ 的粒子处于磁场 $\vec{B} = B\vec{e}_z$ 中，其哈密顿量为

　　 \[ H = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = \frac{e}{mc} \vec{B} \cdot \vec{S}~ \]

　　 其中自旋为 1 的三个自旋矩阵为 (在 $S^2, S_z$ 表象)

　　 \[ S_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \quad S_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} , \quad S_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}~ \]

　　 设时间 $t = 0$ 时粒子的自旋在 $x$ 轴上的投影为 $+\hbar$。试求 $t > 0$ 时：

1. 粒子的自旋态 $\chi(t)$；$\qquad $ (12 分)
2. 粒子自旋在 $x$ 轴投影仍然为 $+\hbar$ 的几率；$\qquad $ (6 分)
3. 粒子自旋 $(S_x, S_y, S_z)$ 的平均值。$\qquad $ (12 分)