东南大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 一.

　　 设质量为 $m$ 的粒子在一维 $\delta (x)$ 势场

　　 $$V(x)=-V_0\delta (x)$$ 中运动，其中 $V_0>0$。试求：

1. 粒子处于束缚态时的能级和对应的态函数；$$(15 分)
2. 若粒子以能量 $E>0$ 左入射上述势场，计算粒子的透射系数。$$ (10 分)

2. 二.

　　 一个二维振子，其哈密顿量为

　　 $$H=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)+\frac{1}{2}(1+\beta xy)(x^2+y^2)$$

　　 其中 $\hslash =1$ 和 $\beta \ll 1$。试求：

1. 当 $\beta =0$ 时，振子的能级和波函数；$$ (10 分)
2. 当 $\beta \ne 0$ 时，第一激发态的能级修正（计算至一级微扰）。$$ (15 分)

3. 三.

　　 试利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量.$$ (20 分)

4. 四.

　　 设一个自旋为 1，电荷为 $e$ 的粒子处于磁场 $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{e}}_z$ 中，其哈密顿量为

　　 $$H=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}=\frac{e}{mc}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{S}$$

　　 其中自旋为 1 的三个自旋矩阵为 (在 $S^2,S_z$ 表象)

　　 $$S_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),S_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right),S_z=\hslash \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

　　 设时间 $t=0$ 时粒子的自旋在 $x$ 轴上的投影为 $+\hslash$。试求 $t>0$ 时：

1. 粒子的自旋态 $\chi (t)$；$$ (12 分)
2. 粒子自旋在 $x$ 轴投影仍然为 $+\hslash$ 的几率；$$ (6 分)
3. 粒子自旋 $(S_x,S_y,S_z)$ 的平均值。$$ (12 分)