东南大学 2006 年 考研 量子力学

                     

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1. 10 分

  
(1) 对波长为 5000 埃的单色光,求其光子能量(用电子伏特表示)。
(2) 对动能为 Ek,质量为 m 的非相对论性自由粒子,求其物质波波长。

2. 10 分

   已知 A=(ab+ci12) 为厄米矩阵(其中 b,c 为实数),它的一个本征值为 1。
(1) 求 a,b,c 的值。
(2) 求矩阵 A 的另一个本征值。

3. 10 分

  
(1) 写出自旋算符 Sx,Sy,Sz 之间的对易关系。
(2) 计算算符 [Lx,py][Lz,z]

4. 10 分

  
已知单个粒子在势场 V(x) 中的能级,从低到高依次为 E0,E1,E2,。在该势场中放入 2 个相同的费米子,设其自旋量子数为 1/2,忽略粒子的相互作用。
(1) 写出该系统基态和第一激发态的能量值。
(2) 若考虑粒子的相互作用,基态能量会如何变化?这种变化是正向的还是反向的?
(3) 如果是放入 5 个这样的费米子,写出你所能给出的能量值。

5. 10 分

  
(1) 写出电偶极辐射的角动量选择定则(不考虑电子自旋)。
(2) 考虑氢原子从基态(ψ100)至第一激发态(ψ200,ψ210,ψ210,ψ211)的跃迁。写出电偶极辐射角动量选择定则所允许的跃迁方式,并计算所需吸收的光子能量(用电子伏特表示)。

6. 20 分

   在一维无限深方势阱 V(x)={0,0xL,其他  中,有一质量为 m 的粒子处于基态。在某一时刻,势阱突然变为: V2(x)={0,0x2L,其他  (1) 分别求在 V1(x)V2(x) 中粒子的基态能量和归一化波函数。
(2) 假设在势阱改变的瞬间,粒子的波函数并未发生变化,求粒子在 V2(x) 中仍处于基态的几率。

7. 20 分

   一粒子在 1 维的波函数为 C[ψ1(x)+2ψ2(x)],这里 ψ1(x)ψ2(x) 分别是粒子能量为 K2K 的归一化定态波函数。

  1. 求归一化常数 C 以及 t 时刻的波函数。
  2. 求粒子的平均能量,求测量值具有几率的能量值。
  3. 求粒子的能量涨落值 E 以及能量的涨落 ΔE

8. 20 分

   氢原子基态波函数为 ψ100(r,θ,ϕ)=1πa3exp(r/a),这里 a 为玻尔半径。

  1. 求在 rr+dr 球亮内找到电子的几率。
  2. 求玺原子基态的最可几半径(在该半径处,电子径向分几率密度最大)。
  3. 若氢原子基态,求 1r 的平均值。

9. 20 分

   已知有两个角量子数 l=1 的粒子组成某量子系统,其哈密顿量为 H=KLaLh,这里 La,Lh 分别是这两个粒子的角动量算符,K 为正常数。求该系统的能级,并给出各能级的简并度(假设两粒子不是全同粒子,不考粒子自旋)。

10. 20 分

   用记一维简谐振子 H0=12(p2+x2) 的能量本征态,这里 n=0,1,2,

  1. 定义升降算符 a+=xip2a=x+ip2,已知 a+|n=n+1|n+1a|n=n|n1,试将 xa+a 表示,求出 x3|0
  2. 如果体系受到微扰 H=λx3,其中 λ 是小量,求基态能级的一阶修正和二阶修正。

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