东南大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 10 分

　　
(1) 对波长为 5000 埃的单色光，求其光子能量（用电子伏特表示）。
(2) 对动能为 $E_k$，质量为 $m$ 的非相对论性自由粒子，求其物质波波长。

2. 10 分

　　 已知 $A = \begin{pmatrix} a & b+ci \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 为厄米矩阵（其中 $ b, c$ 为实数），它的一个本征值为 1。
(1) 求 $a, b, c$ 的值。
(2) 求矩阵 A 的另一个本征值。

3. 10 分

　　
(1) 写出自旋算符 $S_x, S_y, S_z$ 之间的对易关系。
(2) 计算算符 $[L_x, p_y]$ 和 $[L_z, z]$。

4. 10 分

　　
已知单个粒子在势场 $V(x)$ 中的能级，从低到高依次为 $E_0, E_1, E_2, \dots$。在该势场中放入 2 个相同的费米子，设其自旋量子数为 1/2，忽略粒子的相互作用。
(1) 写出该系统基态和第一激发态的能量值。
(2) 若考虑粒子的相互作用，基态能量会如何变化？这种变化是正向的还是反向的？
(3) 如果是放入 5 个这样的费米子，写出你所能给出的能量值。

5. 10 分

　　
(1) 写出电偶极辐射的角动量选择定则（不考虑电子自旋）。
(2) 考虑氢原子从基态（$\psi_{100}$）至第一激发态（$\psi_{200}, \psi_{210},\psi_{210}, \psi_{21-1}$）的跃迁。写出电偶极辐射角动量选择定则所允许的跃迁方式，并计算所需吸收的光子能量（用电子伏特表示）。

6. 20 分

　　 在一维无限深方势阱 \[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq L \\ \infty, & \text{其他} \end{cases}~ \] 中，有一质量为 $m$ 的粒子处于基态。在某一时刻，势阱突然变为： \[ V_2(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq 2L \\ \infty, & \text{其他} \end{cases}~ \] (1) 分别求在 $V_1(x)$ 和 $V_2(x)$ 中粒子的基态能量和归一化波函数。
(2) 假设在势阱改变的瞬间，粒子的波函数并未发生变化，求粒子在 $V_2(x)$ 中仍处于基态的几率。

7. 20 分

　　 一粒子在 1 维的波函数为 $C[\psi_1(x) + 2\psi_2(x)]$，这里 $\psi_1(x)$ 和 $\psi_2(x)$ 分别是粒子能量为 $K$ 和 $2K$ 的归一化定态波函数。

1. 求归一化常数 $C$ 以及 t 时刻的波函数。
2. 求粒子的平均能量，求测量值具有几率的能量值。
3. 求粒子的能量涨落值 $ \vec E $ 以及能量的涨落 $\Delta E$。

8. 20 分

　　 氢原子基态波函数为 $\psi_{100}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}} \exp\left(-r/a\right) $，这里 $a$ 为玻尔半径。

1. 求在 $r \to r+dr$ 球亮内找到电子的几率。
2. 求玺原子基态的最可几半径(在该半径处，电子径向分几率密度最大)。
3. 若氢原子基态，求 $\frac{1}{r}$ 的平均值。

9. 20 分

　　 已知有两个角量子数 $l=1$ 的粒子组成某量子系统，其哈密顿量为 $H = K \vec L_a \cdot\vec L_h$，这里 $\vec L_a, \vec L_h$ 分别是这两个粒子的角动量算符，$K$ 为正常数。求该系统的能级，并给出各能级的简并度(假设两粒子不是全同粒子，不考粒子自旋)。

10. 20 分

　　 用记一维简谐振子 $H_0 = \frac{1}{2}(p^2 + x^2)$ 的能量本征态，这里 $n=0,1,2,\dots$。

1. 定义升降算符 $a^+ = \frac{x - ip}{\sqrt{2\hbar}}$，$a^- = \frac{x + ip}{\sqrt{2\hbar}}$，已知 $a^+ |n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$，$a^- |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle$，试将 $x$ 用 $a^+$ 和 $a^-$ 表示，求出 $x^3|0\rangle$。
2. 如果体系受到微扰 $H' = \lambda x^3$，其中 $\lambda$ 是小量，求基态能级的一阶修正和二阶修正。