东南大学 2006 年 考研 量子力学
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1. 10 分
(1) 对波长为 5000 埃的单色光,求其光子能量(用电子伏特表示)。
(2) 对动能为 ,质量为 的非相对论性自由粒子,求其物质波波长。
2. 10 分
已知 为厄米矩阵(其中 为实数),它的一个本征值为 1。
(1) 求 的值。
(2) 求矩阵 A 的另一个本征值。
3. 10 分
(1) 写出自旋算符 之间的对易关系。
(2) 计算算符 和 。
4. 10 分
已知单个粒子在势场 中的能级,从低到高依次为 。在该势场中放入 2 个相同的费米子,设其自旋量子数为 1/2,忽略粒子的相互作用。
(1) 写出该系统基态和第一激发态的能量值。
(2) 若考虑粒子的相互作用,基态能量会如何变化?这种变化是正向的还是反向的?
(3) 如果是放入 5 个这样的费米子,写出你所能给出的能量值。
5. 10 分
(1) 写出电偶极辐射的角动量选择定则(不考虑电子自旋)。
(2) 考虑氢原子从基态()至第一激发态()的跃迁。写出电偶极辐射角动量选择定则所允许的跃迁方式,并计算所需吸收的光子能量(用电子伏特表示)。
6. 20 分
在一维无限深方势阱
中,有一质量为 的粒子处于基态。在某一时刻,势阱突然变为:
(1) 分别求在 和 中粒子的基态能量和归一化波函数。
(2) 假设在势阱改变的瞬间,粒子的波函数并未发生变化,求粒子在 中仍处于基态的几率。
7. 20 分
一粒子在 1 维的波函数为 ,这里 和 分别是粒子能量为 和 的归一化定态波函数。
- 求归一化常数 以及 t 时刻的波函数。
- 求粒子的平均能量,求测量值具有几率的能量值。
- 求粒子的能量涨落值 以及能量的涨落 。
8. 20 分
氢原子基态波函数为 ,这里 为玻尔半径。
- 求在 球亮内找到电子的几率。
- 求玺原子基态的最可几半径(在该半径处,电子径向分几率密度最大)。
- 若氢原子基态,求 的平均值。
9. 20 分
已知有两个角量子数 的粒子组成某量子系统,其哈密顿量为 ,这里 分别是这两个粒子的角动量算符, 为正常数。求该系统的能级,并给出各能级的简并度(假设两粒子不是全同粒子,不考粒子自旋)。
10. 20 分
用记一维简谐振子 的能量本征态,这里 。
- 定义升降算符 ,,已知 ,,试将 用 和 表示,求出 。
- 如果体系受到微扰 ,其中 是小量,求基态能级的一阶修正和二阶修正。
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