东南大学 2005 年 考研 量子力学

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1. [15 分]

　　 试说明，对于任意势垒，粒子的反射系数 $R$ 及透射系数 $D$ 满足 \[ R + D = 1 \quad (\text{取} E > V_0) ~ \]

2. [20 分]

　　 利用归一化条件计算谐振子的基态能量。

3. [10 分]

　　 证明不存在非 0 的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易，即设 $\vec A \delta + 6\vec A = 0$, 则 $\vec{A} = 0$。

4. [20 分]

　　 设粒子处于范围 $[0, \alpha]$ 的一维无限深势阱中，已知用波函数 \[ \psi(x) = \frac{4}{\sqrt{\alpha}} \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \cos^2\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) ~ \] 描写，求粒子能量的可能测量值及相应几率。

5. [25 分]

　　 荷电子的谐振子，受到外电场 $\xi$ 的作用， \[ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 - q E_0 x ~\] 试能量本征值和本征函数。

6. [25 分]

　　 设带电粒子在互相垂直的均匀磁场与电场中的运动, 求能量本征值和本征函数。

7. [15 分]

　　 设氢原子处于 $n=2$ 能级, 求它的 Stark 分裂（不考虑自旋）。

8. [20 分]

　　 荷电粒子的动量在平衡位置附近做小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为 $P(\omega)$，说明该跃迁：

1. 跃迁选择定则；
2. 设离子原来处于基态求每秒跃迁到第一级激发态的几率。

　　 提示:

　　 1. 教子公式 $$\cos\theta Y_{l,m} = \sqrt{\frac{(l+1)^2 - m^2}{(2l+1)(2l+3)}} Y_{l+1,m} + \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{(2l-1)(2l+1)}} Y_{l-1,m}~$$

　　 2. 跃迁速率公式 $$\omega_{k'k} = \frac{4 \pi^2 e^2}{3 \hbar^2} \left| \langle \vec r_{k'k} \rangle \right|^2 \rho(\omega_{k'k})~$$