东南大学 2005 年 考研 量子力学

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1. [15 分]

　　 试说明，对于任意势垒，粒子的反射系数 $R$ 及透射系数 $D$ 满足 $$R+D=1(\text{取}E>V_0)$$

2. [20 分]

　　 利用归一化条件计算谐振子的基态能量。

3. [10 分]

　　 证明不存在非 0 的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易，即设 $\overrightarrow{A}\delta +6\overrightarrow{A}=0$, 则 $\overrightarrow{A}=0$。

4. [20 分]

　　 设粒子处于范围 $[0,\alpha ]$ 的一维无限深势阱中，已知用波函数 $$\psi (x)=\frac{4}{\sqrt{\alpha }}\sin \left(\frac{\pi x}{\alpha }\right){\cos }^2\left(\frac{\pi x}{\alpha }\right)$$ 描写，求粒子能量的可能测量值及相应几率。

5. [25 分]

　　 荷电子的谐振子，受到外电场 $\xi$ 的作用， $$V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2-q{E}_{0}x$$ 试能量本征值和本征函数。

6. [25 分]

　　 设带电粒子在互相垂直的均匀磁场与电场中的运动, 求能量本征值和本征函数。

7. [15 分]

　　 设氢原子处于 $n=2$ 能级, 求它的 Stark 分裂（不考虑自旋）。

8. [20 分]

　　 荷电粒子的动量在平衡位置附近做小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为 $P(\omega )$，说明该跃迁：

1. 跃迁选择定则；
2. 设离子原来处于基态求每秒跃迁到第一级激发态的几率。

　　 提示:

　　 1. 教子公式 $$\cos \theta Y_{l,m}=\sqrt{\frac{(l+1{)}^2-m^2}{(2l+1)(2l+3)}}{Y}_{l+1,m}+\sqrt{\frac{l^2-m^2}{(2l-1)(2l+1)}}{Y}_{l-1,m}$$

　　 2. 跃迁速率公式 $${\omega }_{k^{\prime }k}=\frac{4{\pi }^2{e}^2}{3{\hslash }^2}{|⟨{\overrightarrow{r}}_{k^{\prime }k}⟩|}^2\rho ({\omega }_{k^{\prime }k})$$