东南大学 2004 年 考研 量子力学

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1. 简发题【30 分，每题 5 分]

1. 简述 Bohr 量子论的基本内客
2. 什么叫隧道效应 ?试解释之
3. 写出 schrodinger 方程的钜阵形式,
4. 若势能 $V(\vec{r})$ 改变一个常量 $C$ 时，即 $V(\vec{r}) \rightarrow V(\vec{r}) + S$，粒子的波函数与时间无关的部分将改变吗？能量值改变否？
5. 设一维粒子的 Hamilton 量为 $H = p^2/2m + V(x)$，写出 $p$ 表象中 $x, p$ 和 $H$ 的 “矩阵元”。
6. 写出 Fermi 黄金规则,并解释之。

2. 15 分

　　 证明:在任何状态下平均值均为实的算符，必为厄密算符。

3. 15 分

　　 证明:如果体系有两个彼此不对易的宇恒量，则体系能级一般是简并的

4. 15 分

　　 设粒子处于半径无限高的势垒中：

　　 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -V_0, & 0 < x < a \\ 0, & x > a \end{cases}~ \] 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的条件。

5. 10 分

　　 证明在分立得能量本征态下动量平均值为 0。

6. 20 分

　　 自旋为 $\hbar/2$，内禀磁矩为 $m_0$ 的粒子。
1. 在空间分布均匀但随时间改变得磁场 $\vec{B}_(t)$ 中运动，证明粒子的波函数。
2. 同 1 类似，设磁场大小不变，但磁场在 $x y $ 平面中以下列规律变化 $B_x = B \cos \omega t$, $B_y = B \sin \omega t$, $B_z = 0$），求粒子的自旋波函数。

7. 20 分

　　 从 Schrödinger 方程出发，详细推导一个质量为 $m$ 粒子在三维各向同性谐振子势 $V(\dot{r}) = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$ 中运动时的能级公式。

8. 25 分

　　 设有一个三维转子，处于基态，接纳惯量 $I$。它沿(转子)轴方向有一小电偶极矩 $D$，记在加上一外电场 E，可将微扰视为微扰论中的一级修正。试用微扰论求修正二级修正。

　　 （按公式）： $$\cos \theta \, Y(l, m) = \sqrt{\frac{(l+1)^2 - m^2}{(2l+1)(2l+3)}} Y(l+1, m) + \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{(2l-1)(2l+1)}} Y(l-1, m)~$$