东南大学 2003 年 考研 量子力学

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1. [30 分] 简答题

1. 从下列实验 终了解到辐射或力是体系的量子化的什么性质？
   a)黑体辐射谱
   b)康普硕散射
2. 在量子产生之前,一个大的理论问题是如何防止原子发光,解释之。在量子力学产生之后，一个大的理论问题是如何使处于激发态的原子发支,解释之.是什么使激文发态发光。
3. 什么叫反常赛蛮效应，解释之。
4. 写出动量表象中的不含有 Schrödinger 矩阵。
5. 马克现象的后续是转移值与转变。
6. 这一维量子 Hamiltonian 量 $H = p^2/2m + V(x)$，描述 $x$ 表象中 $x,p \text{和} H$ 的” 矩阵元 “。

2. [20 分]

　　 设 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是 Schrödinger 方程的解，证明 \[ \frac{d}{dt} \int d^3r \, \psi_1^* (\vec{r}, t) \psi_2 (\vec{r}, t) = 0.~ \]

3. [10 分]

　　 设粒子处于一维无限深势阱中： \[ V(x) = \begin{cases} 0, & |x| < a_2 \\ \infty, & |x| > a_2 \end{cases}~ \] 处于基态 ($n=1$) 求粒子的动量分布。

4. [10 分]

　　 设粒子处于 $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ 状态下，求 $\overline{(\Delta L_x)^2}$ 和 $\overline{(\Delta L_y)^2}$。

5. [10 分]

　　 证明：体系的任何状态下,甚厄密算符的平均值必为实数。

6. [15 分]

　　 设有两个自由粒子都处于动量本征值（本征值为 $\hbar \vec{r}_\alpha, \ \hbar \vec{r}_\beta$）。分三种情况讨论空间的相对距离的几率分布：
(1) 两个非全同粒子。
(2) 两个费本子。
(3) 两个玻色子。

7. [15 分]

　　 荷电为 $\delta$ 的拉子在均匀外磁场 $B$ 中运动，求能量本征值和本征函数。

8. [25 分]

　　 从 Schredimger 方程出发:详细推导氢原子的能级公式。