东南大学 2002 年 考研 量子力学

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1.（15 分）

　　 设粒子在下列势阱中运动，是否存在束缚态？求存在束缚态的条件。 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ -\gamma \delta (x-a),& x>0(\gamma ,a>0)\end{array}$$

2.（15 分）

　　 设 $\lambda$ 为常数，${\sigma }_z$ 为 Pauli 矩阵，证明： $$e^{i\lambda {\sigma }_z}=\cos \lambda +i{\sigma }_z\sin \lambda$$

3.（15 分）

　　 设 $F(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p})$ 为厄密算符，证明无终止量表象中的求和规则为： $$\sum _n(E_n-E_k)|F_{nk}{|}^2=\frac{1}{2}⟨k|[F,[H,F]]|k⟩$$

4.（15 分）

　　 设带电粒子在互相垂直的均匀场 $\overrightarrow{E}$ 和均匀磁场 $\overrightarrow{B}$ 中运动, 求纯一本征值和本征函数。

5.（20 分）

　　 设碱金属原子中价电子所受原子实（原子核+满壳电子）的作用近似表示为 $$V(r)=-\frac{e^2}{r}-\lambda \frac{e^{2}a}{r^2}(0<\lambda \ll 1)$$ 其中 $a$ 为 Bohr 半径，求价电子的能级。

6.（20 分）

　　 设系统的哈密顿算符为 $$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\lambda x^4$$ 其中 $\lambda \ll m{\omega }^2$，将非线性力的势能部分 $\lambda x^4$ 作为微扰，试计算该项对线性谐振子能级的一级微扰修正。