东南大学 2002 年 考研 量子力学

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1.（15 分）

　　 设粒子在下列势阱中运动，是否存在束缚态？求存在束缚态的条件。 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -\gamma \delta(x - a), & x > 0 \quad (\gamma, a > 0) \end{cases}~ \]

2.（15 分）

　　 设 $\lambda$ 为常数，$\sigma_z$ 为 Pauli 矩阵，证明： \[ e^{i \lambda \sigma_z} = \cos \lambda + i \sigma_z \sin \lambda~ \]

3.（15 分）

　　 设 $F(\vec{r},\vec{p})$ 为厄密算符，证明无终止量表象中的求和规则为： \[ \sum_n (E_n - E_k) |F_{nk}|^2 = \frac{1}{2} \langle k | [F, [H, F]] | k \rangle~ \]

4.（15 分）

　　 设带电粒子在互相垂直的均匀场 $\vec{E}$ 和均匀磁场 $\vec{B}$ 中运动, 求纯一本征值和本征函数。

5.（20 分）

　　 设碱金属原子中价电子所受原子实（原子核+满壳电子）的作用近似表示为 \[ V(r) = -\frac{e^2}{r} - \lambda \frac{e^2 a}{r^2} \quad (0 < \lambda \ll 1)~ \] 其中 $a$ 为 Bohr 半径，求价电子的能级。

6.（20 分）

　　 设系统的哈密顿算符为 \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 + \lambda x^4~ \] 其中 $\lambda \ll m\omega^2$，将非线性力的势能部分 $\lambda x^4$ 作为微扰，试计算该项对线性谐振子能级的一级微扰修正。