多项式的可约性质

                     

贡献者: 零穹

预备知识 辗转相除法

  1这一节的内容是关于多项式的可约与不可约性质的,这些概念是因式分解的基础,也有助于理解其它数学分支中的 “约化” 概念。

定义 1 

   设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式,若 $p(x)$ 在数域 $\mathbb{F}$ 上只有平凡因式,则称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式,否则,称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的可约多项式

   按照定义,一次多项式总是不可约多项式。不可约多项式 $p(x)$ 与任一多项式 $f(x)$ 之间只可能有两种关系,或者 $p(x)|f(x)$,或者 $(p(x),f(x))=1$(该符号见定义 3 )。

定理 1 

   设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式,$f(x),g(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 两个多项式,若 $p(x)|f(x)g(x)$,则一定有 $p(x)|f(x)$ 或者 $p(x)|g(x)$

   证明: 若 $p(x)|f(x)$,那么结论以及成立。如果 $p(x)\nmid f(x)$,那么由 $p(x)$ 的不可约性,说明 $(p(x),f(x))=1$,由定理 4 即得 $p(x)|g(x)$。

   由数学归纳法很容易将这个定理推广

定理 2 

   若不可约多项式 $p(x)$ 整除对多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 的乘积

\begin{equation} p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_s(x)~, \end{equation}
则在多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 中,必有一多项式 $f_i(x)$ 存在,使得 $p(x)|f_i(x)$。


1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海:同济大学出版社


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利