多项式的可约性质

                     

贡献者: 零穹; addis; JierPeter

预备知识 辗转相除法

  1这一节的内容是关于多项式的可约与不可约性质的,这些概念是因式分解的基础,也有助于理解其它数学分支中的 “约化” 概念.

定义 1 

   设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式,若 $p(x)$ 在数域 $\mathbb{F}$ 上只有平凡因式,则称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式,否则,称 $p(x)$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的可约多项式

   按照定义,一次多项式总是不可约多项式.不可约多项式 $p(x)$ 与任一多项式 $f(x)$ 之间只可能有两种关系,或者 $p(x)|f(x)$,或者 $(p(x),f(x))=1$(该符号见定义 3 ).

定理 1 

   设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式,$f(x),g(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 两个多项式,若 $p(x)|f(x)g(x)$,则一定有 $p(x)|f(x)$ 或者 $p(x)|g(x)$

   证明: 若 $p(x)|f(x)$,那么结论以及成立.如果 $p(x)\nmid f(x)$,那么由 $p(x)$ 的不可约性,说明 $(p(x),f(x))=1$,由定理 4 即得 $p(x)|g(x)$.

   由数学归纳法很容易将这个定理推广

定理 2 

   若不可约多项式 $p(x)$ 整除对多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 的乘积

\begin{equation} p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_s(x) \end{equation}
则在多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 中,必有一多项式 $f_i(x)$ 存在,使得 $p(x)|f_i(x)$.


1. ^ 吴群.矩阵分析[M].上海:同济大学出版社


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