2019 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

　　 1.当 $x \to 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$ $(\quad)$
（A）1 $\quad$（B）2 $\quad$（C）3 $\quad$（D）4 $\quad$

　　 2.设函数 $f(x)= \left\{\begin{aligned} x \left\lvert x \right\rvert , \quad x \leq 0\\ x \ln x, \quad x>0 \end{aligned}\right. $，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 $(\quad)$
（A）可导点，极值点 $ \qquad$（B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点 $\quad$（D）不可导点，非极值点

　　 3.设 ${u_n}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 $(\quad)$
（A）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{u_n}{n} \quad$ （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{u_n} \quad$ （C）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(1- \frac{u_n}{u_{n+1}} \right) \quad$ （D）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (u_{n+1}^2-u_n ^2)$

　　 4.设函数 $Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$，如果对上半平面 $(y>0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\oint_c P(x,y) \,\mathrm{d}{x} +Q(x,y) \,\mathrm{d}{y} =0$，那么函数 $P(x,y)$ 可取为 $(\quad)$
（A）$ \displaystyle y-\frac{x^2}{y^3} \quad$（B）$\displaystyle \frac{1}{y}-\frac{x^2}{y^3}\quad$（C）$ \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\quad$（D）$ \displaystyle x-\frac{1}{y}\quad$

　　 5.设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵。若 $A^2 + A=2E$，且 $ \left\lvert A \right\rvert =4$，则二次型 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的规范形为 $(\quad)$
（A）$y_1 ^2+y_2 ^2 +y_3 ^2 \qquad$ （B）$y_1 ^2+y_2 ^2 -y_3 ^2$
（C）$y_1 ^2-y_2 ^2 -y_3 ^2 \qquad$ （D）$-y_1 ^2-y_2 ^2 -y_3 ^2$

　　 6.如图 1 所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程$$a_{il}x + a_{i2}y + a_{i3}z = d_i \quad (i=1,2,3)~$$组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } $，则 $(\quad)$

　　
（A）$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=2,\quad r(\bar{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=3 \qquad$
（B）$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=2,\quad r(\bar{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=2 \qquad$
（C）$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=1,\quad r(\bar{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=2 \qquad$
（D）$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=1,\quad r(\bar{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=1 \qquad$

　　 7.设 $A,B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是 $(\quad)$
（A）$P( A \cup B)=P(A)+P(B) \qquad$ （B）$P(AB)=P(A)P(B)$
（C）$P(A\bar{ B })=P(B\bar{A}) \qquad \qquad$ (D) $P(AB)=P(\bar {A}\bar {B})$

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu,\sigma ^2)$，则 $P \{ \left\lvert X-Y \right\rvert <1\}$ $(\quad)$
（A）与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma ^2$ 有关 $\qquad$（B）与 $\mu$ 有关，而与 $\sigma ^2$ 无关
（C）与 $\mu ,\sigma ^2$ 都有关 $\qquad \qquad \qquad$（D）与 $\mu ,\sigma ^2$ 都无关

2. 填空题

　　 1.设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\sin y-\sin x)+xy$，则 $\displaystyle \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x} +\frac{1}{\cos y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y} =$ $(\quad)$。

　　 2.微分方程 $2yy'-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$ $(\quad)$。

　　 3.幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ $(\quad)$。

　　 4.设 $\Sigma$ 设为曲面 $x^2+y^2+4z^2=4 (z\ge 0)$ 的上侧,则 $\int\int_{\Sigma} \sqrt{4-x^2-4z^2} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} =$ $(\quad)$。

　　 5.设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为 3 阶矩阵，若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$,则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 $(\quad)$。

　　 6.设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)= \left\{\begin{aligned} \frac{x}{2}, \quad &0< x<2\\ 0, \quad &\text{其他} \end{aligned}\right. $，$F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$E(x)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>E(X)-1\}=$ $(\quad)$。

3. 解答题

　　 1.设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y'+xy=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解。
(1).求 $y(x)$;
(2).求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。

　　 2.设 $a,b$ 为实数，函数 $z=2+ax^2+by^2$ 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向 $l=-3i-4j$ 的方向导数最大，最大值为 10。
(1).求 $a,b$;
(2).求曲面 $z=2+ax^2+by^2 \quad(z\geqslant 0)$ 的面积。

　　 3.求曲线 $y=e^{-x}sinx \quad (x\geqslant 0)$ 与 $x$ 轴之间图形的面积。

　　 4.设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}{x} \quad (n=0,1,2,\dots)$
(1).证明数列 ${a_n}$ 单调递减，且 $\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+2}a_{n-2}\quad (n=2,3,\dots);$
(2).求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}$

　　 5.设 $\Omega$ 是由锥面 $x^2+(y-z)^2=(1-z)^2 \quad (0\leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z=0$ 围成的锥体，求 $\Omega$ 的形心坐标。

　　 6.设向量组 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1=(1,2,1) ^{\mathrm{T}} , \boldsymbol{\mathbf{a}} _2=(1,3,2) ^{\mathrm{T}} , \boldsymbol{\mathbf{a}} _3=(1,a,3) ^{\mathrm{T}} $ 为 $R^3$ 的一个基，$\beta=(1,1,1) ^{\mathrm{T}} $ 在这个基下的坐标为 $(b,c,1) ^{\mathrm{T}} $。
(1).求 $a,b,c$;
(2)。证明 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _2, \boldsymbol{\mathbf{a}} _3, \boldsymbol{\mathbf{\beta}} $ 为 $R^3$ 的一个基，并求 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _2, \boldsymbol{\mathbf{a}} _3, \boldsymbol{\mathbf{\beta}} $ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1, \boldsymbol{\mathbf{a}} _2, \boldsymbol{\mathbf{a}} _3$ 的过度矩阵。

　　 7.已知矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}-2 & -2 & 1\\2& x & -2\\0 & 0 &-2\end{pmatrix} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}2 &1 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 &y\end{pmatrix} $ 相似。
(1).求 $x,y$;
(2).求可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 使得 $ \boldsymbol{\mathbf{P^{-1}AP}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} $.

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=p,P\{Y=1\}=1-p \quad (0< p<1)$。令 $Z=XY$。
(1).求 $Z$ 的概率密度;
(2).$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关;
(3)$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？

　　 9.设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x;\sigma)= \left\{\begin{aligned} \frac{A}{\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x \geqslant \mu\\ 0, \quad x< \mu \end{aligned}\right. ~, $$ 其中 $\mu$ 是已知参数，$\sigma$>0 是未知参数，$A$ 是常数，$X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本。
(1).求 $A$；
(2).求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量。