2019 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

　　 1.当 $x\to 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$ $()$
（A）1 $$（B）2 $$（C）3 $$（D）4 $$

　　 2.设函数 $f(x)=\{\begin{array}{r}x\left|x\right|,x\le 0\\ x\ln x,x>0\end{array}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 $()$
（A）可导点，极值点 $$（B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点 $$（D）不可导点，非极值点

　　 3.设 $u_n$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 $()$
（A）${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u_n}{n}}$ （B）${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{u_n}}$ （C）${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{u_n}{u_{n+1}})}$ （D）${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_{n+1}^2-u_n^2)}$

　　 4.设函数 $Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$，如果对上半平面 $(y>0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 ${\oint }_{c}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$，那么函数 $P(x,y)$ 可取为 $()$
（A）${\displaystyle y-\frac{x^2}{y^3}}$（B）${\displaystyle \frac{1}{y}-\frac{x^2}{y^3}}$（C）${\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$（D）${\displaystyle x-\frac{1}{y}}$

　　 5.设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵。若 $A^2+A=2E$，且 $\left|A\right|=4$，则二次型 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}$ 的规范形为 $()$
（A）$y_1^2+y_2^2+y_3^2$ （B）$y_1^2+y_2^2-y_3^2$
（C）$y_1^2-y_2^2-y_3^2$ （D）$-y_1^2-y_2^2-y_3^2$

　　 6.如图 1 所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程$$a_{il}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i(i=1,2,3)$$组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $\mathbf{A},\bar{\mathbf{A}}$，则 $()$

　　
（A）$r(\mathbf{A})=2,r(\overline{\mathbf{A}})=3$
（B）$r(\mathbf{A})=2,r(\overline{\mathbf{A}})=2$
（C）$r(\mathbf{A})=1,r(\overline{\mathbf{A}})=2$
（D）$r(\mathbf{A})=1,r(\overline{\mathbf{A}})=1$

　　 7.设 $A,B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是 $()$
（A）$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ （B）$P(AB)=P(A)P(B)$
（C）$P(A\overline{B})=P(B\overline{A})$ (D) $P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P\{|X-Y|<1\}$ $()$
（A）与 $\mu$ 无关，而与 ${\sigma }^2$ 有关 $$（B）与 $\mu$ 有关，而与 ${\sigma }^2$ 无关
（C）与 $\mu ,{\sigma }^2$ 都有关 $$（D）与 $\mu ,{\sigma }^2$ 都无关

2. 填空题

　　 1.设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\sin y-\sin x)+xy$，则 ${\displaystyle \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\cos y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=}$ $()$。

　　 2.微分方程 $2y{y}^{\prime }-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$ $()$。

　　 3.幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^n}$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内的和函数 $S(x)=$ $()$。

　　 4.设 $\mathrm{\Sigma }$ 设为曲面 $x^2+y^2+4z^2=4(z\ge 0)$ 的上侧,则 $\int {\int }_{\mathrm{\Sigma }}\sqrt{4-x^2-4z^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ $()$。

　　 5.设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 为 3 阶矩阵，若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$,则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 $()$。

　　 6.设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{x}{2},& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$E(x)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>E(X)-1\}=$ $()$。

3. 解答题

　　 1.设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime }+xy=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解。
(1).求 $y(x)$;
(2).求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。

　　 2.设 $a,b$ 为实数，函数 $z=2+a{x}^2+b{y}^2$ 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向 $l=-3i-4j$ 的方向导数最大，最大值为 10。
(1).求 $a,b$;
(2).求曲面 $z=2+a{x}^2+b{y}^2(z⩾0)$ 的面积。

　　 3.求曲线 $y=e^{-x}sinx(x⩾0)$ 与 $x$ 轴之间图形的面积。

　　 4.设 $a_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x(n=0,1,2,\dots )$
(1).证明数列 $a_n$ 单调递减，且 ${\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+2}{a}_{n-2}(n=2,3,\dots );}$
(2).求 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{a_{n-1}}}$

　　 5.设 $\mathrm{\Omega }$ 是由锥面 $x^2+(y-z{)}^2=(1-z{)}^2(0⩽z⩽1)$ 与平面 $z=0$ 围成的锥体，求 $\mathrm{\Omega }$ 的形心坐标。

　　 6.设向量组 ${\mathbf{a}}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{a}}_2=(1,3,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{a}}_3=(1,a,3{)}^{\mathrm{T}}$ 为 $R^3$ 的一个基，$\beta =(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 在这个基下的坐标为 $(b,c,1{)}^{\mathrm{T}}$。
(1).求 $a,b,c$;
(2)。证明 ${\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,\mathit{\beta }$ 为 $R^3$ 的一个基，并求 ${\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,\mathit{\beta }$ 到 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ 的过度矩阵。

　　 7.已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& x& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$ 与 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$ 相似。
(1).求 $x,y$;
(2).求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使得 ${\mathbf{P}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$.

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=p,P\{Y=1\}=1-p(0<p<1)$。令 $Z=XY$。
(1).求 $Z$ 的概率密度;
(2).$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关;
(3)$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？

　　 9.设总体 $X$ 的概率密度为 $$f(x;\sigma )=\{\begin{array}{r}\frac{A}{\sigma }{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x⩾\mu \\ 0,x<\mu \end{array},$$ 其中 $\mu$ 是已知参数，$\sigma$>0 是未知参数，$A$ 是常数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本。
(1).求 $A$；
(2).求 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计量。