北京大学 2020 年强基计划招生考试数学试题

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　　 北京大学 2020 年强基计划招生考试数学试题
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的的代号填在表格中, 选对得 5 分, 选错或不选得 0 分.
1. 正实数 $x,y,z,w$ 满足 $x\ge y\ge w$ 和 $x+y\le 2(z+w),$ 则 $\frac{w}{x}+\frac{z}{y}$ 的最小值等于
(A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{7}{8}$ (C) 1 (D) 前三个答案都不对
2. 在 $(2019\times 2020{)}^{2021}$ 的全体正因数中选出若干个, 使得其中任意两个的乘积都不是平方数, 则最多可选因数个数为
$(\mathrm{A})16$ (B) 31 (C) 32 (D) 前三个答案都不对
3. 整数列 ${\left\{a_n\right\}}_{n\ge 1}$ 满足 $a_1=1,a_2=4,$ 且对任意 $n\ge 2$ 有 $a_n^2-a_{n+1}{a}_{n-1}=2^{n-1},$ 则 $a_{2020}$ 的个位数字是
$(A)8$ $\begin{array}{ll}\text{ (B) }4& \text{ (C) }2\end{array}$ (D) 前三个答案都不对
4. 设 $a,b,c,d$ 是方程 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ 的 4 个复根, 则 $\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$ 的值为
$(A)-\frac{4}{3}$ $\begin{array}{ll}\text{ (B) }-\frac{2}{3}& \text{ (C) }\frac{2}{3}\end{array}$ (D) 前三个答案都不对
5. 设等边三何形 ABC 的边长为 1, 过点 $C$ 作以 $AB$ 为直径的圈的切线交 $AB$ 的延长线与点 $D,AD>BD,$ 则三角形 $BCD$ 的面积为
(A) $\frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$ (B) $\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$ (C) $\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{16}$ (D) 前三个答案都不对
6. 设 $x,y,z$ 均不为 $(k+\frac{1}{2})\pi ,$ 其中 $k$ 为数数, 已知 $\sin (y+z-x),\sin (x+z-y),\sin (x+y-z)$ 成等差数列, 则依然成等差数列的是
$(\mathrm{A})\sin x,\sin y,\sin z$ (B) $\cos x,\cos y,\cos z$ (C) $\tan x,\tan y,\tan z$ (D) 前三个答案都不对
7. 方程 $19x+93y=4xy$ 的整数解个数为
$\begin{array}{lll}\text{ (A) }4& \text{ (B) }8& \text{ (C) }16\end{array}$ (D) 前三个答案都不对
8. 从圆 $x^2+y^2=4$ 上的点向椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 引切线, 两个切点间的线段称为切点弦, 则椭圆 $C$ 内不与任何切点弦相交的区 域面积为
(A) $\frac{\pi }{2}$ (B) $\frac{\pi }{3}(C)\frac{\pi }{4}$ (D) 前三个答余都不对
9. 使得 $5x+12\sqrt{xy}\le a(x+y)$ 对所有正实数 $x,y$ 都成立的实数 $a$ 的最小值为
(A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 前三个答余都不对
10. 设 $P$ 为单位立方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上的一点, 则 $P{A}_1+P{C}_1$ 的最小值为
(A) $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ (B) $\sqrt{2+2\sqrt{2}}(C)2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (D) 前三个答案都不对
11. 数列 ${\left\{a_n\right\}}_{n\ge 1}$ 满足 $a_1=1,a_2=9,$ 且对任意 $n\ge 1$ 有 $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-20,$ 其前 $n$ 项和为 $S_n$，则函数 $S_n$ 的最大值等于
(A) 28 (B) 35 (C) 47 (D) 前三个答案都不对
12. 设直线 $y=3x+m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 交于 $A,B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 则三角形 $OAB$ 面积的最大值为
(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 前三个答案都不对
13. 正整数 $n\ge 3$ 称为理想的, 若存在正整数 $1\le k\le n-1$ 使得 $C_n^{k-1},C_n^k,C_n^{k+1}$ 构成等差数列, 其中 $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数, 则不超过 2020 的理想数个数为
$(\mathrm{A})40$ (B) 41 (C) 42 (D) 前三个答案都不对
14. 在 $\mathrm{△}ABC$ 中, $\mathrm{\angle }A={150}^{\circ },D_1,D_2,\dots ,D_{2020}$ 依次为边 $BC$ 上的点, 且 $\mathrm{B}{D}_1=$ $D_1{D}_2=D_2{D}_3=\cdots =D_{2019}{D}_{2020}=D_{2020}C,$ 设 $\mathrm{\angle }BA{D}_1={\alpha }_1,\mathrm{\angle }{D}_{1}A{D}_2={\alpha }_2,\dots ,$ $\mathrm{\angle }{D}_{2019}A{D}_{2020}={\alpha }_{2020},\mathrm{\angle }{D}_{2020}AC={\alpha }_{2021},$ 则 $\frac{\sin a_1\sin a_3\cdots \sin {\alpha }_{2021}}{\sin a_2\sin {\alpha }_4\cdots \sin {\alpha }_{2020}}$ 的值为
(A) $\frac{1}{1010}$ $\begin{array}{ll}\text{ (B) }\frac{1}{2020}& \text{ (C) }\frac{1}{2021}\end{array}$ (D) 前三个答案降不对
15. 函数 $\sqrt{3+2\sqrt{3}\cos \theta +{\cos }^2\theta }+\sqrt{5-2\sqrt{3}\cos \theta +{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta }$ 的最大值为
(A) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (B) $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (C) $\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ (D) 前三个答案都不对
16. 方程 $\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1$ 的实根个数为
$\begin{array}{llll}\text{ (A) }1& \text{ (B) }2& \text{ (C) }3& \text{ (D) 前三个答案都不对 }\end{array}$
17. 凸五边形 $ABCDE$ 的对角线 $CE$ 分别与对角线 $BD$ 和 $AD$ 交于点 $F$ 和 $G,$ 已知 $BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S_{\mathrm{△}CFD}$ 和 $S_{\mathrm{△}ABE}$ 分 别为 $\mathrm{△}CFD$ 和 $\mathrm{△}ABE$ 的面积, 则 $S_{\mathrm{△}CFD}:S_{\mathrm{△}ABE}$ 的值等于
(A) 8: 15 (B) 2: 3 (C) 11: 23 (D) 前三个答案都不对
18. 设 $p,q$ 均为不超过 100 的正整数, 则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为
(A) 99 (B) 133 (C) 150 (D) 前三个答案都不对
19. 满足对任意 $n\ge 1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 ${\left\{a_n\right\}}_{n\ge 1}$ 的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 无穷多个 (D) 前三个答案都不对
20. 设函数 $f(x,y,z)=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x},$ 其中 $x,y,z$ 均为正实数, 则有
(A) $f$ 既有最大值也有最小值 (B) $f$ 有最大值但无最小值 (C) $f$ 有最小值但无最大值 三个答案都不对