2018 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

　　 1.下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是 $()$
(A)$f(x)=\left|x\right|\sin \left|x\right|$ (B)$f(x)=\left|x\right|\sin \sqrt{\left|x\right|}$
(c)$f(x)=\cos \left|x\right|$ (D)$f(x)=\cos \sqrt{\left|x\right|}$

　　 2.过点 $(1,0,0),(0,1,0)$，且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为 $()$
(A)$z=0$ 与 $x+y-z=1$
(B)$z=0$ 与 $2x+2y-z=2$
(C)$x=y$ 与 $x+y-z=1$
(D)$x=y$ 与 $2x+2y-z=2$

　　 3.${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{2n+3}{(2n+1)!}}$ = $()$
(A)$\sin 1+\cos 1$ (B)$2\sin 1+\cos 1$
(C)$2\sin 1+2\cos 1$(D)$2\sin 1+3\cos 1$

　　 4.设 ${\displaystyle M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}\mathrm{d}x,N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}\mathrm{d}x,K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})\mathrm{d}x}$，则 $()$。
(A)$M>N>K$ (B)$M>K>N$ (C)$K>M>N$ (D)$K>N>M$

　　 5.下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 相似的为 $()$
(A)$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ (B)$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ (C)$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ (D)$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

　　 6.设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(\mathbf{X})$ 为矩阵 $\mathbf{X}$ 的秩，$(\mathbf{X},\mathbf{Y})$ 表示分块矩阵，则 $()$
(A)$r(\mathbf{A},\mathbf{AB})=r(\mathbf{A})$ (B)$r(\mathbf{A},\mathbf{BA})=r(\mathbf{A})$
(C)$r(\mathbf{A},\mathbf{B})$=max $\{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})\}$ (D)$r(\mathbf{A},\mathbf{B})=r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}},{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}})$

　　 7.设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$,且 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0.6$, 则 $P\{X<0\}$= $()$
(A)$0.2$ (B)$0.3$ (C)$0.4$ (D)$0.5$

　　 8.设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2).X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设：$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0,$ 则 $()$
(A)如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(B)如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$
(C)如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(D)如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$

2. 填空题

　　 1.若 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}{)}^{\frac{1}{\sin kx}}=e}$，则 $k=()$。

　　 2.设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数，若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则 ${\int }_0^{1}x{f}^{″}(x)\mathrm{d}x=()$。

　　 3.设 $F(x,y,z)=xyi-yzj+zxk$，则 $rotF(1,1,0)$ = $()$。

　　 4.设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 ${\oint }_{L}xy\mathrm{d}s$ = $()$。

　　 5.设 2 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 有两个不同特征值，${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2$ 是 $\mathbf{A}$ 的线性无关的特征向量，且满足 $A^2(a_1+a_2)=a_1+a_2$，则 $\left|A\right|$ = $()$。

　　 6.设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 相互独立，$BC=\mathrm{\varnothing }$ 若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2},P(AC|AB\cup C)=\frac{1}{4}$，则 $P(C)=()$。

3. 解答题

　　 1.求不定积分 ${\displaystyle \int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}\mathrm{d}x}$。

　　 2.将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

　　 3.设 $\mathrm{\Sigma }$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$ 的前侧，计算曲面积分 ${\displaystyle I=\int {\int }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$。

　　 4.已知微分方程 $y^{\prime }+y=f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数。
(1)若 $f(x)=x$，求方程的通解;
(2)若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解。

　　 5.设数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1>0,x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2,\dots )$ 。证明数列 $\{x_n\}$ 收敛，并求 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$。

　　 6.设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+a{x}_3{)}^2$，其中 $a$ 是参数。
(1)求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解；
(2)求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范形。

　　 7.已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$。
(1)求 $a$;
(2)求满足 $\mathbf{AP}=\mathbf{B}$ 的可逆矩阵 $\mathbf{P}$。

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}$， $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。令 $Z=XY$。
(1)求 $Cov(X,Z)$；
(2)求 $Z$ 的概率分布。

　　 9.设总体 $X$ 的概率密度为 $$f(x;\sigma )=\frac{1}{2\sigma }{e}^{-\frac{\left|x\right|}{\sigma }},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },$$ 其中 $\sigma \in (0,\mathrm{\infty })$ 为未知参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\mathit{\sigma }}$。
(1)求 $\hat{\mathit{\sigma }}$；
(2)求 $E(\hat{\mathit{\sigma }}),D(\hat{\mathit{\sigma }})$。