2018 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

　　 1.下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是 $(\quad)$
(A)$f(x)= \left\lvert x \right\rvert \sin \left\lvert x \right\rvert \qquad$ (B)$f(x)= \left\lvert x \right\rvert \sin \sqrt{ \left\lvert x \right\rvert }$
(c)$f(x)=\cos \left\lvert x \right\rvert \qquad \quad$ (D)$ f(x)=\cos \sqrt{ \left\lvert x \right\rvert }$

　　 2.过点 $(1,0,0),(0,1,0)$，且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为 $(\quad)$
(A)$z=0$ 与 $x+y-z=1$
(B)$z=0$ 与 $2x+2y-z=2$
(C)$x=y$ 与 $x+y-z=1$
(D)$x=y$ 与 $2x+2y-z=2$

　　 3.$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2n+3}{(2n+1)!}$ = $(\quad)$
(A)$\sin 1+\cos 1 \qquad$ (B)$2\sin 1+\cos 1$
(C)$2\sin 1+2\cos 1 \quad$(D)$2\sin 1+3\cos 1$

　　 4.设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\frac{(1+x)^2}{1+x^2} \,\mathrm{d}{x} ,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\frac{1+x}{e^x} \,\mathrm{d}{x} ,K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(1+\sqrt{\cos x}) \,\mathrm{d}{x} $，则 $(\quad)$。
(A)$M>N>K \quad$ (B)$M>K>N \quad$ (C)$K>M>N \quad$ (D)$K>N>M$

　　 5.下列矩阵中，与矩阵 $ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} $ 相似的为 $(\quad)$
(A)$ \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} \quad$ (B)$ \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} \quad$ (C)$ \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \quad$ (D)$ \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} $

　　 6.设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r( \boldsymbol{\mathbf{X}} )$ 为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 的秩，$( \boldsymbol{\mathbf{X}} , \boldsymbol{\mathbf{Y}} )$ 表示分块矩阵，则 $(\quad)$
(A)$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{AB}} )=r( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \qquad \qquad$ (B)$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{BA}} )=r( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \quad$
(C)$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} )$=max $ \{r( \boldsymbol{\mathbf{A}} ),r( \boldsymbol{\mathbf{B}} )\}$ (D)$r( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} )=r( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{\mathrm{T}} )$

　　 7.设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$,且 $\int_0^2 f(x) \,\mathrm{d}{x} =0.6$, 则 $P\{X<0\}$= $(\quad)$
(A)$0.2 \quad$ (B)$0.3 \quad$ (C)$0.4 \quad$ (D)$0.5 \quad$

　　 8.设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2).X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设：$H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0,$ 则 $(\quad)$
(A)如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(B)如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$
(C)如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(D)如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，那么 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$

2. 填空题

　　 1.若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^\frac{1}{\sin kx}=e$，则 $k=(\quad)$。

　　 2.设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数，若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则 $\int_0^1 xf''(x) \,\mathrm{d}{x} = (\quad)$。

　　 3.设 $F(x,y,z)=xyi-yzj+zxk$，则 $rot F(1,1,0)$ = $(\quad)$。

　　 4.设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_L xy \,\mathrm{d}{s} $ = $(\quad)$。

　　 5.设 2 阶矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有两个不同特征值，$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1, \boldsymbol{\mathbf{a}} _2$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的线性无关的特征向量，且满足 $A^2(a_1+a_2)=a_1+a_2$，则 $ \left\lvert A \right\rvert $ = $(\quad)$。

　　 6.设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 相互独立，$BC=\emptyset$ 若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2},P(AC|AB \cup C)=\frac{1}{4}$，则 $P(C)= (\quad)$。

3. 解答题

　　 1.求不定积分 $\displaystyle \int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1} \,\mathrm{d}{x} $。

　　 2.将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

　　 3.设 $\Sigma$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$ 的前侧，计算曲面积分 $\displaystyle I=\int\int_\Sigma x \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} +(y^3+2) \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} +z^3 \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $。

　　 4.已知微分方程 $y'+y=f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数。
(1)若 $f(x)=x$，求方程的通解;
(2)若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解。

　　 5.设数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1>0,x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n} -1\quad (n=1,2,\dots)$ 。证明数列 $\{x_n\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$。

　　 6.设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2$，其中 $a$ 是参数。
(1)求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解；
(2)求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范形。

　　 7.已知 $a$ 是常数，且矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1&2&a\\1&3&0\\2&7&-a\end{pmatrix} $ 可经初等列变换化为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}1&a&2\\0&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix} $。
(1)求 $a$;
(2)求满足 $ \boldsymbol{\mathbf{AP}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $。

　　 8.设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}$， $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。令 $Z=XY$。
(1)求 $Cov(X,Z)$；
(2)求 $Z$ 的概率分布。

　　 9.设总体 $X$ 的概率密度为 $$f(x;\sigma)=\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{ \left\lvert x \right\rvert }{\sigma}},\quad -\infty< x<+\infty,~$$ 其中 $\sigma \in (0,\infty)$ 为未知参数，$X_1,X_2,\dots,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\sigma}}} $。
(1)求 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\sigma}}} $；
(2)求 $E( \hat{\boldsymbol{\mathbf{\sigma}}} ),D( \hat{\boldsymbol{\mathbf{\sigma}}} )$。