2016 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

1. 若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} \,\mathrm{d}{x} $ 收敛，则 $(\quad)$
   (A) $a<1$ 且 $b>1 \qquad$ (B) $a>1$ 且 $b<1$
   (C) $a<1$ 且 $a+b>1 \quad$ (D) $a>1$ 且 $a+b>1$
2. 已知函数 $f(x)= \left\{\begin{aligned} &2(x-1), &x<1\\ &\ln x, &x \ge 1 \end{aligned}\right. $，则 $f(x)$ 的一个原函数是 $(\quad)$
   (A)$F(x)= \left\{\begin{aligned} &(x-1)^2, &x<1\\&x(\ln x-1),&x \ge 1 \end{aligned}\right. $
   (B)$F(x)= \left\{\begin{aligned} &(x-1)^2, &x<1\\&x(\ln x+1)-1,&x \ge 1 \end{aligned}\right. $
   (C)$F(x)= \left\{\begin{aligned} &(x-1)^2, &x<1\\&x(\ln x+1)+1,&x \ge 1 \end{aligned}\right. $
   (D)$F(x)= \left\{\begin{aligned} &(x-1)^2, &x<1\\&x(\ln x-1)+1,&x \ge 1 \end{aligned}\right. $
   
3. 若 $y=(1+x^2)^2-\sqrt{1+x^2},y=(1+x^2)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是微分方程 $y'+p(x)y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)= (\quad)$
   (A) $3x(1+x^2) \quad$ (B) $-3x(1+x^2) \quad$ (C) $\displaystyle \frac{x}{1+x^2} \quad$ (D) $\displaystyle -\frac{x}{1+x^2} \quad$
4. 已知函数 $f(x)= \left\{\begin{aligned} &x, &&x \le 0,\\&\frac{1}{n},&&\frac{1}{n+1}< x \le \frac{1}{n},n=1,2,\dots \end{aligned}\right. $ 则 $(\quad)$
   (A) $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
   (B) $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
   (C) $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
   (D) $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
5. 设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是可逆矩阵，且 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 相似，则下列结论错误的是 $(\quad)$
   (A)$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{\mathrm{T}} $ 相似
   (B)$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1}$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1}$ 相似
   (C)$ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{\mathrm{T}} $ 相似
   (D)$ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1}$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1}$ 相似
6. 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$ ，则 $f(x_1,x_2,x_3)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为 $(\quad)$
   (A)单叶双曲面 $\qquad$ (B)双叶双曲面 $\qquad$ (C)椭球面 $\qquad$ (D) 柱面
7. 设随机变量 $X$~$N(\mu,\sigma^2)(\sigma>0)$ ，记 $p=P\{X \le \mu +\sigma ^2\}$，则 $(\quad)$
   (A)$p$ 随着 $\mu$ 的增加而增加 $\quad$ (B)$p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加
   (C)$p$ 随着 $\mu$ 的增加而减少 $\quad$ (D)$p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少
8. 随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1,A_2,A_3$,且三种结果发生的概率均为 $\frac1 3$,将试验 $E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数,则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $(\quad)$
   (A)-$\frac1 2$ $\qquad$ (B)-$\frac1 3$ $\qquad$ (C)$\frac1 3$ $\qquad$ (D)$\frac1 2$

2. 填空题

1. $\displaystyle \lim_{{x\to 0 }} \frac{\int_0^x t \ln\left(1+t\sin t\right) \,\mathrm{d}{t} }{1-\cos x^2} $=$(\quad)$
2. 向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (x,y,z)=(x+y+z) \boldsymbol{\mathbf{i}} +xy \boldsymbol{\mathbf{j}} +z \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的旋度 $ \boldsymbol{\mathbf{rot}} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ =$(\quad)$
3. 设函数 $f(u,v)$ 可微，$z=z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y)$ 确定，则 $ \,\mathrm{d}{z} |_{(0,1)}$=$(\quad)$
4. 设函数 $\displaystyle f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+ax^2}$ 且 $f''(0)=1$，则 $a=(\quad)$
5. 行列式 $ \begin{vmatrix}\lambda&-1&0&0\\0&\lambda&-1&0\\0&0&\lambda&-1\\4&3&2&\lambda+1\end{vmatrix} $=$(\quad)$
6. 设 $X_1,x_2,\dots,X_n$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar X=0.95$ ，参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为 $(\quad)$

3. 简答题

1. 已知平面区域 $\displaystyle D=\{(r,\theta)|2 \le r \le 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \le \theta \frac{\pi}{2}\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \int\int_D x \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $。
2. 设函数 $y(x)$ 满足方程 $y''+2y'+ky=0$，其中 $0< k<1$。
   (1) 证明：反常积分 $\displaystyle \int_0^{+\infty} y(x) \,\mathrm{d}{x} $ 收敛；
   (2)若 $y(0)=1,y'(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_0^{+\infty} y(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的值。
3. 设函数 $f(x,y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =(2x+1)e^{2x-y}$，且 $f(0,y)=y+1$ ，$L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,t)$ 的光滑曲线。计算曲线积分 $\displaystyle I(t)=\int_{L_t} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} $，并求 $I(t)$ 的最小值。
4. 设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2x+y+2z=2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $\displaystyle I=\int\int_\Sigma (x^2+1) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} -2y \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} +3z \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $。
5. 已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=1,0< f'(x)<\frac{1}{2}$。设数列 $\{{x_n}\}$ 满足 $x_{n+1}$。证明：
   (1)级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(x_{n+1}-x_n)$ 绝对收敛;
   (2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ 存在，且 $\displaystyle 0<\lim_{n \to \infty}x_n<2$
6. 设矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1&-1&-1 \\ 2 & a &1\\-1 & 1 &a\end{pmatrix} $,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}2&2\\1&a\\-a-1&-2\end{pmatrix} $ 。当 $a$ 为何值时，方程 $ \boldsymbol{\mathbf{AX=B}} $ 无解，有唯一解，有无穷解？在有解时，求解此方程。
7. 已知矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}0&-1&1\\2&-3&0\\0&0&0\end{pmatrix} $
   (1)求 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{99}$;
   (2)设 3 阶矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} =( \boldsymbol{\mathbf{a_1,a_2,a_3}} )$ 满足 $ \boldsymbol{\mathbf{B^2=BA}} $。记 $ \boldsymbol{\mathbf{B^{100}=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)}} $,将 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta_1,\beta_2,\beta_3}} $ 分别表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}} $ 的线性组合。
8. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D=\{(x,y)|0< x<1,x^2< y<\sqrt{x}\}$ 上服从均匀分布，令 $U= \left\{\begin{aligned} 1,\quad X \ge Y\\0,\quad X>Y. \end{aligned}\right. $
   (1)写出 $(X,Y) $ 的概率密度;
   (2)问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由;
   (3)求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$
9. 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta)= \left\{\begin{aligned} \frac{3x^2}{\theta^2},\quad&0< x<\theta\\ 0,\quad&\text{其他} \end{aligned}\right. $。其中 $\theta \in (0,+\infty)$ 为未知参数，$X_1,X_2,X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=max\{X_1,X_2,X_3\}$.
   (1)求 $T$ 的概率密度;
   (2)确定 $a$，使得 $aT$ 为 $\theta$ 的无偏估计。