2015 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

1. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，其 2 阶导函数 $f^{″}(x)$ 的图形如图 1 所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为 ($$)
   (A)$$0 $$ (B)$$1 $$ (C)$$2 $$(D)$$3
   
   图 1
2. 设 $y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$ 的一个特解,则($$)
   (A) $a=-3,b=2,c=-1$
   (B) $a=3,b=2,c=-1$
   (C) $a=-3,b=2,c=1$
   (D) $a=3,b=2,c=1$
3. 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(x-1{)}^n}$ 的($$)
   (A) 收敛点，收敛点
   (B) 收敛点，发散点
   (C) 发散点，收敛点
   (D) 发散点，发散点
4. 设 $D$ 是第一象限中的曲线 $2xy=1,4xy=1$ 与直线 $y=x,y=\sqrt{3}x$ 围成的平面区域，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 ${\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$=($$)
   (A)${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{2\sin 2\theta }}^{\frac{1}{\sin 2\theta }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r}$
   (B)${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r}$
   (C) ${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{2\sin 2\theta }}^{\frac{1}{\sin 2\theta }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r}$
   (D)${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r}$
5. 设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^2\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ d\\ d^2\end{array}\right)$ 若集合 $\mathrm{\Omega }=\{1,2\}$ 则线性方程组 $\mathbf{Ax}\mathbf{=}\mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为($$)
   (A) $a\notin \mathrm{\Omega },d\notin \mathrm{\Omega }$
   (B) $a\notin \mathrm{\Omega },d\in \mathrm{\Omega }$
   (C) $a\in \mathrm{\Omega },d\notin \mathrm{\Omega }$
   (D) $a\in \mathrm{\Omega },d\in \mathrm{\Omega }$
   
6. 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $x=Py$ 下的标准型为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，其中 $P=(e_1,e_2,e_3)$。若 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $x=Qy$ 下的标准形为($$)
   (A) $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$
   (B) $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$
   (C) $2y_1^2-y_2^2-y_3^2$
   (D) $2y_1^2+y_2^2+y_3^2$
7. 若 $A,B$ 为任意两个随机事件，则($$)
   (A) $P(AB)\le P(A)P(B)$
   (B) $P(AB)\ge P(A)P(B)$
   (C) ${\displaystyle P(AB)\le \frac{P(A)+P(B)}{2}}$
   (D) ${\displaystyle P(AB)\ge \frac{P(A)+P(B)}{2}}$
8. 设随机变量 $X,Y$ 不相关，且 $E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]$=($$)
   (A) -3
   (B) 3
   (C) -5
   (D) 5

2. 填空题

1. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (\cos x)}{x^2}}$=($$)
2. ${\displaystyle {\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{\sin x}{1+\cos x}+\left|x\right|)\mathrm{d}x}$=($$)
3. 若函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $e^z+xyz+x+\cos x=2$ 确定，则 $\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}$=($$)
4. 设 $\mathrm{\Omega }$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间领域，则 ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(x+2y+3z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}$=($$)
5. $n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|$=($$)
6. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0)$ ，则 $P\{XY-Y<0\}$=($$)

3. 简答题

1. 设函数 $f(x)=x+a\ln (1+x)+bx\sin x$，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x\to 0$ 时是等价无穷小，求 $a,b,k$ 值。
2. 设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对于任意的 $x_0\in I$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4，且 $f(0)=2$，求 $f(x)$ 的表达式。
3. 已知函数 $f(x,y)=x+y+xy$, 曲线 $C:x^2+y^2+xy=3$, 求 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数。
4. (1)设函数 $u(x),v(x)$ 可导, 利用导数定义证明 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$;
   (2)设函数 $u_1(x),u_2(x),\cdots ,u_n(x)$ 可导, $f(x)=u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)$, 写出 $f(x)$ 的求导公式。
5. 已知曲线 $L$ 的方程为 $\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2},\\ z=x,\end{array}$ 起点为 $A(0,\sqrt{2},0)$, 终点为 $B(0,-\sqrt{2},0)$, 计算曲线积分 $I={\int }_L(y+z)\mathrm{d}x+(z^2-x^2+y)\mathrm{d}y+x^2{y}^2\mathrm{d}z$。
6. 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为 $R^3$ 的一个基,${\beta }_1=2{\alpha }_1+2k{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_1+(k+1){\alpha }_3$.
   (1)证明向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 为 $R^2$ 的一个基。
   (2)当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的坐标相同，并求所有的 $\xi$。
7. 设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -1& a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$。
   (1)求 $a,b$ 的值；
   (2)求可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 ${\mathbf{P}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{AP}$ 为对角矩阵。
8. 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{r}{2}^{-x}\ln 2,x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$ 对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。
   (1)求 $Y$ 的概率分布；
   (2)求 $E(Y)$。
9. 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta )=\{\begin{array}{rlr}\frac{1}{1-\theta },& & \theta \le x\le 1\\ 0,& & \text{其他}\end{array}$ 其中 $\theta$ 为未知参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自该总体的简单随机样本。
   (1)求 $\theta$ 的矩估计量；
   (2)求 $\theta$ 的最大似然估计量。