2014 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

1. 下列曲线中有渐近线的是 $()$
   (A) $y=x+\sin x$
   (B) $y=x^2+\sin x$
   (C) $y=x+\sin \frac{1}{x}$
   (D) $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
2. 设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$ ，则在区间 [0,1] 上 $()$
   (A)当 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 时，$f(x)\ge g(x)$
   (B)当 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 时，$f(x)\le g(x)$
   (C)当 $f^{″}(x)\ge 0$ 时，$f(x)\ge g(x)$
   (D)当 $f^{″}(x)\ge 0$ 时，$f(x)\le g(x)$
3. 设 $f(x)$ 是连续函数，则 ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x}$=$()$
   (A) ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x-1}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y}$
   (B)${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}f(x,y)\mathrm{d}y}$
   (C) ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r}$
   (D) ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r}$
   
4. 若 ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a_1\cos x-b_1\sin x{)}^2\mathrm{d}x=\underset{a,b\in R}{min}\{{\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x\}}$，则 $a_1\cos x+b_1\sin x$=$()$
   (A) $2\sin x$
   (B) $2\cos x$
   (C) $2\pi \sin x$
   (D) $2\pi \cos x$
5. 行列式 $\left|\begin{array}{llll}0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d\end{array}\right|=()$
   (A) $(ad-bc{)}^2$
   (B) $-(ad-bc{)}^2$
   (C) $a^2{d}^2-b^2{c}^2$
   (D) $b^2{c}^2-a^2{d}^2$
6. 设 $a_1,a_2,a_3$ 均为 3 维向量，则对任意常数 $k,l$ 向量组 $a_1+k{a}_3,a_2+l{a}_3$ 线性无关是向量组 $a_1,a_2,a_3$ 线性有关的 $()$
   (A) 必要非充分条件
   (B) 充分并非必要条件
   (C) 充分必要条件
   (D) 既非充分也非必要条件
7. 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(B)=0.5,P(A-B)=0.3$，则 $P(B-A)=$ $()$
   (A)0.1
   (B)0.2
   (C)0.3
   (D)0.4
8. 设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在，$X_1$ 与 $X_2$ 概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}[f_1(y)+f_2(y)]$，随机变量 $Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)$，则 $()$
   (A) $E(Y_1)>E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)$
   (B) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)=D(Y_2)$
   (C) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)<D(Y_2)$
   (D) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)$

2. 填空题

1. 曲面 $z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$ 在点 (1,0,1) 处的切平面方程为 $()$
2. 设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime }(x)=2(x-1),x\in [0,2]$ 则 $f(7)$=$()$
3. 微分方程 $x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=e^3$ 的解为 $y=$ $()$
4. 设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ${\displaystyle {\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z}$=$()$
5. 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2a{x}_1{x}_3+4x_2{x}_3$ 的负惯性指数为 1，则 $a$ 的取值范围是 $()$。
6. 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta )=\{\begin{array}{rlr}& \frac{2x}{3{\theta }^2},& \theta <x<2\theta \\ & 0,& \text{其他}\end{array}$，其中 $\theta$ 是未知参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 ${\displaystyle c\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i^2}$ 是 ${\theta }^2$ 的无偏差估计，则 $c=()$

3. 解答题

1. 求极限 ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_1^x[t^2(e^{\frac{1}{t}-1})-t]\mathrm{d}t}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}}$.
2. 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^3+xy+x^{2}y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值。
3. 设函数 $f(u)$ 具有二阶连续倒数，$z=f(e^x\cos y)$ 满足 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+e^x\cos y)e^{2x}}$ 。若 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求 $f(u)$ 的表达式。
4. 设 $\mathrm{\Sigma }$ 为曲面 $z=x^2+y^2(z\le 1)$ 的上侧，计算曲面积分 ${\displaystyle I={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}(x-1{)}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1{)}^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
5. 设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 ${\displaystyle 0<a_n<\frac{\pi }{2},0<b_n<\frac{\pi }{2},\cos a_n-a_n=\cos b_n}$，且级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 收敛。
   (1)证明 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0;}$
   (2)证明级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}}$ 收敛。
6. 设 $A$= $\left(\begin{array}{cccc}0& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 2& 0& -3\end{array}\right)$，$E$ 为 3 阶单位矩阵。
   (1)求方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系；
   (2)求满足 $AB=E$ 的所有矩阵
7. 证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ 1& 1& \dots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \dots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& \dots & 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & n\end{array}\right)$ 相似。
8. 设随机变量 $X$ 的概率分布为 $PX=1=PX=2=\frac{1}{2}$。在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0,i)(i=1,2)$。
   (1)求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$;
   (2)求 $E(Y)$.
9. 设总体 $X$ 的分布函数为 ${\displaystyle F(x;\theta )=\{\begin{array}{rlr}& 1-e^{-\frac{x^2}{\theta }},& x\ge 0\\ & 0,& x<0\end{array}}$，其中 $\theta$ 是未知参数且大于零。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。
   (1)求 $E(X)$ 与 $E(X^2)$;
   (2)求 $\theta$ 的最大似然估计量 ${\hat{\theta }}_n$;
   (3)是否存在实数 $a$ 使得对任何 $\epsilon >0$，都有 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{|{\hat{\theta }}_n-a\ge \epsilon |\}=0}$？