2013 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

1. 已知极限 $\underset{n\to 0}{lim}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c$，其中 $k,c$ 为常数，且 $c\ne 0$，则 ($$)
   (A) ${\displaystyle k=2,c=-\frac{1}{2}}$
   (B) ${\displaystyle k=2,c=\frac{1}{2}}$
   (C) ${\displaystyle k=3,c=-\frac{1}{3}}$
   (D) ${\displaystyle k=3,c=\frac{1}{3}}$
2. 曲面 $x^2+\cos \left(xy\right)+yz+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为 ($$)
   (A) $x-y+z=-2$
   (B) $x+y+z=0$
   (C) $x-2y+z=-3$
   (D) $x-y-z=0$
3. 设 ${\displaystyle f(x)=|x-\frac{1}{2}|,b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x(n=1,2,\dots )}$，令 ${\displaystyle S(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin n\pi x}$，则 $S(-\frac{9}{4})$ =($$)
   (A) ${\displaystyle \frac{3}{4}}$
   (B) ${\displaystyle \frac{1}{4}}$
   (C) ${\displaystyle -\frac{1}{4}}$
   (D) ${\displaystyle -\frac{3}{4}}$
4. 设 $L_1:x^2+y^2=1,L_2:x^2+y^2=2,L_3:x^2+2y^2=2,L_4:2x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 ${\displaystyle I_i={\oint }_{L_i}(y+\frac{y^3}{6})\mathrm{d}x+(2x-\frac{x^3}{3})\mathrm{d}y(i=1,2,3,4)}$ ，则 $max\{I_1,I_2,I_3,I_4\}$ =($$)
   (A) $I_1$
   (B) $I_2$
   (C) $I_3$
   (D) $I_4$
5. 设 $\mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{B}\mathbf{,}\mathbf{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $\mathbf{AB}\mathbf{=}\mathbf{C}$，且 $\mathbf{B}$ 可逆，则($$)
   (A) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价
   (B) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价
   (C) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
   (D) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
6. 矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为 ($$)
   (A) $a=0,b=2$
   (B) $a=0,b$ 为任意常数
   (C) $a=2,b=0$
   (D) $a=2,b$ 为任意常数
7. 设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量，且 $X_1$~ $N(0,1)$,$X_2$~ $N(0,2^2)$,$X_3$~ $N(5,3^2)$，$p_i=P\{-2\le X_i\le 2\}(i=1,2,3)$ 则($$)
   (A) $p_1>p_2>p_3$
   (B) $p_2>p_1>p_3$
   (C) $p_3>p_1>p_2$
   (D) $p_1>p_3>p_2$
   
8. 设随机变量 $X$~ $t(n)$，$Y$~ $F(1,n)$ 给定 $\alpha (0<a<0.5)$，常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$ 则 $P\{Y>c^2\}=$ ($$)
   (A) $\alpha$
   (B) $1-\alpha$
   (C) $2\alpha$
   (D) $1-2\alpha$

2. 填空题

1. 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 确定，则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n[f(\frac{1}{n})-1]}$ = ($$)
2. 已知 $y_1=e^{3x}-x{e}^{2x},y_2=e^x-x{e}^{2x},y_3=-x{e}^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 $y$ =($$)
3. 设 $\{\begin{array}{rl}& x=\sin t,\\ & y=t\sin t+\cos t\end{array}$ (t 为参数)，则 ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{t=\frac{\pi }{4}}}$=($$)
4. ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x}$=($$)
5. 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是三阶非零矩阵，$\left|\mathbf{A}\right|$ 为 $\mathbf{A}$ 的行列式，${\mathbf{A}}_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij}+A_{ij}=0(i,j=1,2,3)$，则 $\left|\mathbf{A}\right|$=($$)
6. 设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y\le a+1|Y>a\}$=($$)

3. 解答题

1. 计算 ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}}$，其中 ${\displaystyle f(x)={\int }_1^x\frac{\ln (t+1)}{t}\mathrm{d}t}$.
2. 设数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_0=3,a_1=1,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，$S(x)$ 是幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}$ 的和函数。
   (1)证明 $S^{″}(x)-S(x)=0$;
   (2)求 $S(x)$ 的表达式.
3. 求函数 ${\displaystyle f(x,y)=(y+\frac{x^3}{3})e^{x+y}}$ 的极值.
4. 设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$，证明:
   (1)存在 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=1$;
   (2)存在 $\eta \in (-1,1)$，使得 $f^{″}(\eta )+f^{\prime }(\eta )=1$.
5. 设直线 $L$ 过 $A(1,0,0),B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\mathrm{\Sigma }$, $\mathrm{\Sigma }$ 与平面 $z=0,z=2$ 所围成的立体为 $\mathrm{\Omega }$.
   (1)求曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的方程;
   (2)求 $\mathrm{\Omega }$ 的形心坐标。
6. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 1& b\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& b\end{array}\right)$，当 $a,b$ 为何值时，存在矩阵 $\mathbf{C}$ 使得 $\mathbf{AC}\mathbf{-}\mathbf{CA}\mathbf{=}\mathbf{B}$，并求所有矩阵 $\mathbf{C}$ .
7. 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2+(b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3{)}^2$ ，记
   $$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathit{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right),\mathit{\beta }=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)\end{array}$$
   (1)证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $\mathbf{2}\mathit{\alpha }{\mathit{\alpha }}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{\beta }{\mathit{\beta }}^{\mathbf{T}}$;
   (2)若 $\alpha ,\beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2$.
8. 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{9}{x}^2,& 0<x<3\\ & 0,& \text{其他,}\end{array}$ 令随机变量 $Y=\{\begin{array}{rl}& 2,X\le 1\\ & X,1<X<2\\ & 1,X\ge 2,\end{array}$
   (1)求 $Y$ 的分布函数；
   (2)求概率 $P\{X\le Y\}$.
9. 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta )=\{\begin{array}{rlr}& \frac{{\theta }^2}{x^3}{e}^{-\frac{\theta }{x}},& x>0\\ & 0,& \text{其他}\end{array}$，其中 $\theta$ 为未知参数且大于零。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。
   (1)求 $\theta$ 的矩阵估计量;
   (2)求 $\theta$ 的最大似然估计量 。