2012 年考研数学试题（数学一）

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1. 曲线 ${\displaystyle y=\frac{x^2+x}{x^2-1}}$ 的渐近线的条数为 ($$)
   (A) $0$
   (B) $1$
   (C) $2$
   (D) $3$
2. 设函数 $f(x)=(e^x-1)(e^{2x}-2)\dots (e^{nx}-n)$，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime }(0)$=($$)
   (A)$(-1{)}^{n-1}(n-1)!$
   (B)$(-1{)}^n(n-1)!$
   (C)$(-1{)}^{n-1}n!$
   (D) $(-1{)}^{n}n!$
3. 如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正的是($$)
   (A)若极限 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{\left|x\right|+\left|y\right|}}$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。
   (B)若极限 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}}$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。
   (C)若 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{\left|x\right|+\left|y\right|}}$ 存在。
   (D)若 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微,则极限 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}}$ 存在。
4. 设 ${\displaystyle I_k={\int }_0^{k\pi }{e}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x(k=1,2,3)}$，则有($$)
   (A)$I_1<I_2<I_3$
   (B)$I_3<I_2<I_1$
   (C)$I_2<I_3<I_1$
   (D)$I_2<I_1<I_3$
5. 设 ${\mathit{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_1\end{array}\right),{\mathit{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ c_2\end{array}\right),{\mathit{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ c_3\end{array}\right),{\mathit{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ c_4\end{array}\right)$，其中 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ($$)
   (A)${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}$
   (B)${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{4}}$
   (C)${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{4}}$
   (D)${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{4}}$
6. 设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，$\mathbf{P}$ 为 3 阶可逆矩阵，且 ${\mathbf{P}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 。若 $\mathbf{p}\mathbf{=}\mathbf{(}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{)},\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{(}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}$，则 ${\mathbf{Q}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{AQ}$ =($$)
   (A)$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
   
   (B)$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$
   
   (C)$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$
   
   (D)$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
   
7. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X<Y\}$=($$)
   (A) ${\displaystyle \frac{1}{5}}$
   
   (B) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$
   
   (C) ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
   
   (D) ${\displaystyle \frac{4}{5}}$
8. 将长度为 $1m$ 的木棒随机地截成两段，则两段长度关系系数为 ($$)
   (A) $1$
   (B) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
   (C) ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$
   (D) $-1$

1. 填空题

1. 若函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{″}(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$ 及 $f^{″}(x)+f(x)=2e^x$，则 $f(x)$=($$)
2. ${\displaystyle {\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}}$=($$)
3. ${\displaystyle {grad(xy+\frac{z}{y})|}_{(2,1,1)}}$=($$)
4. 设 $\mathrm{\Sigma }=\{(x,y,z)|x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$ ，则 ${\displaystyle \int {\int }_{\mathrm{\Sigma }}{y}^2\mathrm{d}S}$=($$)
5. 设 $\mathit{\alpha }$ 为 3 维单位列向量，$\mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 $\mathbf{E}\mathbf{-}\mathit{\alpha }{\mathit{\alpha }}^{\mathbf{T}}$ 的秩为($$)
6. 设 $A,B,C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\overline{C})$=($$)

2. 解答题

1. 证明：${\displaystyle x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}(-1<x<1)}$。
2. 求函数 ${\displaystyle f(x,y)=x{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}}$ 的极值。
3. 求幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}{x}^{2n}}$ 的收敛域及和函数。
4. 已知曲线 $L:\{\begin{array}{r}x=f(x)\\ y=\cos t,\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$,其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$ ，若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积。
5. 已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2x$ 到点 $(2,0)$，再沿圆周 $x^2+y^2$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 ${\displaystyle I={\int }_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x+(x^3+x-2y)\mathrm{d}y}$。
6. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a\\ a& 0& 0& 1\end{array}\right),\mathit{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$。
   (1)计算行列式 $\left|\mathbf{A}\right|$;
   (2)当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\mathbf{Ax}\mathbf{=}\mathit{\beta }$ 有无穷多解，并求其通解。
7. 已知 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{)}\mathbf{x}$ 的秩为 $2$。
   (1)求实数 a 的值；
   (2)求正交变换 $\mathbf{x}=Qy$ 将二次型 $f$ 化为标准型。
8. 设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为
   
   图 1：表 1
   (1)求 $P\{X=2Y\}$
   (2)求 $Cov(X-Y,Y)$
9. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 与 $N(\mu ,2{\sigma }^2)$，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma >0$。记 $Z=X-Y$。
   (1) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z;{\sigma }^2)$；
   (2) 设 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计量 ${\hat{\sigma }}^2$；
   (3)证明 ${\displaystyle {\hat{\sigma }}^2}$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计量。