2012 年考研数学试题（数学一）

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1. 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 的渐近线的条数为 ($\quad$)
   (A) $0$
   (B) $1$
   (C) $2$
   (D) $3$
2. 设函数 $f(x)=(e^x-1)(e^{2x}-2)\dots(e^{nx}-n)$，其中 $n$ 为正整数，则 $f'(0)$=($\quad$)
   (A)$(-1)^{n-1}(n-1)!$
   (B)$(-1)^n(n-1)!$
   (C)$(-1)^{n-1}n!$
   (D) $(-1)^n n!$
3. 如果函数 $f(x,y)$ 在点 $ (0,0) $ 处连续，那么下列命题正的是($\quad$)
   (A)若极限 $\displaystyle \lim_{\substack {x\to0 \\ y\to 0}}\frac{f(x,y)}{ \left\lvert x \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert }$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。
   (B)若极限 $\displaystyle \lim_{\substack {x\to0 \\ y\to 0}}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。
   (C)若 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\displaystyle \lim_{\substack {x\to0 \\ y\to 0}}\frac{f(x,y)}{ \left\lvert x \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert }$ 存在。
   (D)若 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微,则极限 $\displaystyle \lim_{\substack {x\to0 \\ y\to 0}}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$ 存在。
4. 设 $\displaystyle I_k=\int_{0}^{k\pi} e^{x^2}\sin x \,\mathrm{d}{x} (k=1,2,3) $，则有($\quad$)
   (A)$I_1< I_2< I_3$
   (B)$I_3< I_2< I_1$
   (C)$I_2< I_3< I_1$
   (D)$I_2< I_1< I_3$
5. 设 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1= \begin{pmatrix}0\\0\\c_1\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2= \begin{pmatrix}0\\1\\c_2\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3= \begin{pmatrix}1\\-1\\c_3\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1= \begin{pmatrix}-1\\1\\c_4\end{pmatrix} $，其中 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ($\quad$)
   (A)$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}} $
   (B)$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4}} $
   (C)$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4}} $
   (D)$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}} $
6. 设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 3 阶矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 为 3 阶可逆矩阵，且 $ \boldsymbol{\mathbf{P^{-1}AP}} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} $ 。若 $ \boldsymbol{\mathbf{p=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)}} , \boldsymbol{\mathbf{Q=(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3)}} $，则 $ \boldsymbol{\mathbf{Q^{-1}AQ}} $ =($\quad$)
   (A)$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} $
   
   (B)$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} $
   
   (C)$ \begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} $
   
   (D)$ \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} $
   
7. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X< Y\}$=($\quad$)
   (A) $\displaystyle \frac{1}{5}$
   
   (B) $ \displaystyle \frac{1}{3}$
   
   (C) $\displaystyle \frac{2}{3}$
   
   (D) $\displaystyle \frac{4}{5}$
8. 将长度为 $1m$ 的木棒随机地截成两段，则两段长度关系系数为 ($\quad$)
   (A) $1$
   (B) $\displaystyle \frac{1}{2}$
   (C) $\displaystyle -\frac{1}{2}$
   (D) $-1$

1. 填空题

1. 若函数 $f(x)$ 满足方程 $f''(x)+f'(x)-2f(x)=0$ 及 $f''(x)+f(x)=2e^x$，则 $f(x)$=($\quad$)
2. $\displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{2x-x^2}$=($\quad$)
3. $\displaystyle \left. grad(xy+\frac{z}{y}) \right\rvert _{(2,1,1)}$=($\quad$)
4. 设 $\Sigma=\{(x,y,z)|x+y+z=1,x\ge 0,y \ge 0,z \ge 0\}$ ，则 $\displaystyle \int \int_\Sigma y^2 \,\mathrm{d}{S} $=($\quad$)
5. 设 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 为 3 维单位列向量，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{E-\alpha\alpha ^{\mathrm{T}} }} $ 的秩为($\quad$)
6. 设 $A,B,C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\bar C)$=($\quad$)

2. 解答题

1. 证明：$\displaystyle x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2} \quad (-1< x<1)$。
2. 求函数 $\displaystyle f(x,y)=xe^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 的极值。
3. 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n}$ 的收敛域及和函数。
4. 已知曲线 $L: \left\{\begin{aligned} x=f(x)\\y=\cos t, \end{aligned}\right. \quad (0 \le t<\frac{\pi}{2} )$,其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0,f'(t)>0 \quad (0< t<\frac{\pi}{2})$ ，若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积。
5. 已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2x$ 到点 $ (2,0)$，再沿圆周 $x^2+y^2$ 到点 $ (0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_L 3x^2y \,\mathrm{d}{x+(x^3+x-2y)} \,\mathrm{d}{y} $。
6. 设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1&a&0&0\\0&1&a&0\\0&0&1&a\\a&0&0&1\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix} $。
   (1)计算行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $;
   (2)当实数 $a$ 为何值时，方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{Ax=\beta}} $ 有无穷多解，并求其通解。
7. 已知 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&0&a\\0&a&-1\end{pmatrix} $ ，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)= \boldsymbol{\mathbf{x ^{\mathrm{T}} (A ^{\mathrm{T}} A)x}} $ 的秩为 $2$。
   (1)求实数 a 的值；
   (2)求正交变换 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =Qy$ 将二次型 $f$ 化为标准型。
8. 设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为
   
   图 1：表 1
   (1)求 $P\{X=2Y\}$
   (2)求 $Cov (X-Y,Y)$
9. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 与 $N(\mu,2\sigma ^2)$，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$。记 $Z=X-Y$。
   (1) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z;\sigma^2)$；
   (2) 设 $Z_1,Z_2,\dots,Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $ \hat{\sigma} ^2$；
   (3)证明 $\displaystyle \hat{\sigma} ^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量。