2011 年考研数学试题（数学一）

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1. 曲线 $y=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^2(x-4{)}^2$ 的拐点是 ($$)
   (A) $(1,0)$
   (B) $(2,0)$
   (C) $(3,0)$
   (D) $(4,0)$
2. 设数列 $\{a_n\}$ 单调减少，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0,S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k(n=1,2,\dots )}$ 无界，则幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-1{)}^n}$ 的收敛域为($$)
   (A) $(-1,1]$
   (B) $[-1,1)$
   (C) $[0,2)$
   (D) $(0,2]$
3. 设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)>0,f^{\prime }(0)=0$ ，则函数 $z=f(x)\ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是 ($$)
   (A) $f(0)>1,f^{″}(0)>0$
   (B) $f(0)>1,f^{″}(0)<0$
   (C) $f(0)<1,f^{″}(0)>0$
   (D) $f(0)<1,f^{″}(0)<0$
4. 设 ${\displaystyle I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\sin x)\mathrm{d}x,J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cot x)\mathrm{d}x,K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cos x)\mathrm{d}x}$，则 $I,J,K$ 的大小关系为 ($$)
   (A) $I<J<K$
   (B) $I<K<J$
   (C) $J<I<K$
   (D) $K<J<I$
5. 设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\mathbf{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 $\mathbf{B}$，再交换 $\mathbf{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 ${\mathbf{P}}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{P}}_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，则 $\mathbf{A}$=($$)
   (A) ${\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}$
   (B) ${\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}$
   (C) ${\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}$
   (D) ${\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$
6. 设 $\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{(}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{4}}\mathbf{)}$ 是 4 阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $(1,0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\mathbf{Ax}\mathbf{=}\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 ${\mathbf{A}}^{\mathbf{\ast }}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}$ 的基础解系可为 ($$)
   (A) ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}$
   (B) ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}$
   (C) ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}$
   (D) ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{4}}$
7. 设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是 ($$)
   (A) $f_1(x)f_2(x)$
   (B) $2f_2(x)F_1(x)$
   (C) $f_1(x)F_2(x)$
   (D) $f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)$
8. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在，记 $U=max\{X,Y\},V=min\{X,Y\}$，则 $E(UV)$=($$)
   (A) $E(U)$· $E(V)$
   (B) $E(X)$· $E(Y)$
   (C) $E(U)$· $E(Y)$
   (D) $E(X)$· $E(V)$
   

1. 填空题

1. 曲线 ${\displaystyle y={\int }_0^x\tan t\mathrm{d}t(0\le x\le \frac{\pi }{4})}$ 的弧长 $s$=($$)
2. 微分方程 $y^{\prime }+y=e^{-x}\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y$=($$)
3. 设函数 ${\displaystyle F(x,y)={\int }_0^{xy}\frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t}$，则 ${\displaystyle {\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}|}_{x=0,y=2}}$=($$)
4. 设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ${\displaystyle {\oint }_{L}xz\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y+\frac{y^2}{2}\mathrm{d}z}$ =($$)
5. 若二次曲面的方程 $x^2+3y^2+z^2+2axy+2xz+2yz=4$ 经正交变换为 $y_1^2+4z_1^2=4$，则 $a$=($$)
6. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu ,\mu ;{\sigma }^2,{\sigma }^2;0)$，则 $E(X{Y}^2)$= ($$)

2. 解答题

1. 求极限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{\ln (1+x)}{x}{]}^{\frac{1}{e^x-1}}}$.
2. 设函数 $z=f(xy,yg(x))$，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$。求 ${\displaystyle {\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}|}_{x=1,y=1}}$。
3. 求方程 $k\arctan x-x=0$ 不同实根的个数，其中 $k$ 为参数。
4. (1) 证明：对任意的正整数 $n$，都有 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$ 成立;
   (2)设 ${\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2,\dots )}$ ，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛。
5. 已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y)=0,f(x,1)=0,{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a$ ，其中 $D=(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1$，计算二重积分 ${\displaystyle I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{″}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
6. 设向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathit{\alpha }}_2=(0,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathit{\alpha }}_3=(1,3,5{)}^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 ${\mathit{\beta }}_1=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathit{\beta }}_2=(1,2,3{)}^{\mathrm{T}},{\mathit{\beta }}_3=(3,4,a{)}^{\mathrm{T}}$ 线性表示。
   (1)求 $a$ 的值。
   (2)将 ${\mathit{\beta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\beta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\beta }}_{\mathbf{3}}$ 用 ${\mathit{\alpha }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{\alpha }}_{\mathbf{3}}$ 线性表示。
7. 设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，$\mathbf{A}$ 的秩为 2，且 $\mathbf{A}$ $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.
   (1)求 $A$ 的所有特征值与特征向量；
   (2)求矩阵 $\mathbf{A}$。
8. 设随机变量 $A$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
   
   图 1
   且 $P\{X^2=Y^2\}=1$。
   (1)求二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布；
   (2)求 $Z=XY$ 的概率分布；
   (3)求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 ${\rho }_{xy}$。
9. 设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自正态总体 $N({\mu }_0,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，其中 ${\mu }_0$ 已知，${\sigma }^2>0$ 未知，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别表示样本均值和样本方差。
   (1) 求参数 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计 ${\hat{\sigma }}^2$;
   (2)计算 $E({\hat{\sigma }}^2)$ 和 $D({\hat{\sigma }}^2)$。