2010 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

1. 极限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x-a)+(x+b)}{]}^x}$=$()$
   (A) $1$
   (B) $e$
   (C) $e^{a-b}$
   (D) $e^{b-a}$
2. 设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 ${\displaystyle F(\frac{y}{x},\frac{z}{x}=0)}$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_2^{\prime }\ne 0$，则 ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}}$=$()$
   (A) $x$
   (B) $z$
   (C) $-x$
   (D) $-z$
3. 设 $m,n$ 均是正整数，则反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\sqrt[m]{{\ln }^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\mathrm{d}x}$ 的收敛性 $()$
   (A) 仅与 $m$ 的取值有关
   (B) 仅与 $n$ 的取值有关
   (C) 与 $m,n$ 的取值都有关
   (D) 与 $m,n$ 的取值都无关
4. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}}$= $()$
   (A) ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\mathrm{d}y}$
   (B)${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{1}{(1+x)(1+y)}\mathrm{d}y}$
   (C)${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y)}\mathrm{d}y}$
   (D)${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\mathrm{d}y}$
5. 设 $\mathbf{A}$ 为 $m$x$n$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 为 $n$x$m$ 矩阵，$\mathbf{E}$ 为 $m$ 阶单位矩阵，若 $\mathbf{AB}\mathbf{=}\mathbf{E}$，则 $()$
   (A) 秩 $r(\mathbf{A})=m$，秩 $r(\mathbf{B})=m$
   (B) 秩 $r(\mathbf{A})=m$，秩 $r(\mathbf{B})=n$
   (C) 秩 $r(\mathbf{A})=n$，秩 $r(\mathbf{B})=m$
   (D) 秩 $r(\mathbf{A})=n$，秩 $r(\mathbf{B})=n$
   
6. 设 $\mathbf{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 ${\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{O}$ 。若 $\mathbf{A}$ 的秩为 3，则 $\mathbf{A}$ 相似于 $()$
   (A) $\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)$
   (B) $\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & & \\ & & -1& \\ & & & 0\end{array}\right)$
   (C) $\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & & \\ & & -1& \\ & & & 0\end{array}\right)$
   (D) $\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & -1& & & \\ & & -1& \\ & & & 0\end{array}\right)$
7. 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\{\begin{array}{rlr}& 0,& x<0,\\ & \frac{1}{2},& 0\le x<1\\ & 1-e^{-x},& x\ge 1\end{array}$ ，则 $P\{X=1\}$=$()$
   (A) $0$
   (B) $\frac{1}{2}$
   (C) $\frac{1}{2}-e^{-1}$
   (D) $1-e^{-1}$
8. 设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若 $f(x)=\{\begin{array}{r}a{f}_1(x),x\le 0\\ b{f}_2(x),x>0\end{array}$ $(a>0,b>0)$ 为概率密度，则 $a,b$ 应满足 $()$
   (A) $2a+3b=4$
   (B) $3a+2b=4$
   (C) $a+b=1$
   (D) $a+b=2$

2. 填空题

1. 设 $\{\begin{array}{rl}& x=e^{-t}\\ & y={\int }_0^1\ln (1+u^2)\mathrm{d}u\end{array}$ ，则 ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{t=0}}$=$()$
2. ${\displaystyle {\int }_0^{{\pi }^2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\mathrm{d}x}$=$()$
3. 已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-\left|x\right|(x\in [-1,1])$,起点是 $(-1,0)$，终点为 $(1,0)$，则曲线积分 ${\displaystyle {\int }_{L}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y}$=$()$
4. 设 $\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)|x^2+y^2\le z\le 1\}$，则 $\mathrm{\Omega }$ 的形心的竖坐标 $\overline{z}$= $()$
5. 设 ${\alpha }_1=(1,2,-1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(1,1,0,2{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_3=(2,1,1,a{)}^{\mathrm{T}}$ 。若由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 生成的向量空间的维数为 2，则 $a$=$()$
6. 设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{K!},k=0,1,2\dots$，则 $E(X^2)$=$()$

3. 解答题

1. 求微分方程 $y^{″}-3y^{\prime }+2y=2x{e}^x$ 的通解。
2. 求函数 ${\displaystyle f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t)e^{-t^2}\mathrm{d}t}$ 的单调区间与极值。
3. (1) 比较 ${\displaystyle {\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^n\mathrm{d}t}$ 与 ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t(n=1,2,\dots )}$ 的大小，说明理由；
   (2)记 ${\displaystyle u_n={\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^n\mathrm{d}t(n=1,2,\dots )}$，求极限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n}$。
4. 求幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n}}$ 的收敛域及和函数。
5. 设 $P$ 为椭球面 $S$：$x^2+y^2+z^2-yz=1$ 上的动点，若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $xOy$ 面垂直，求点 $P$ 的轨迹 $C$，并计算曲面积分 ${\displaystyle I={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S}$ ，其中 $\mathrm{\Sigma }$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的部分。
6. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ 。已知线性方程组 $\mathbf{Ax}\mathbf{=}\mathbf{b}$ 存在 2 个不同的解。
   (1)求 $\lambda ,a$;
   (2)求方程组 $\mathbf{Ax}\mathbf{=}\mathbf{b}$ 的通解。
7. 已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$ 在正交变换 $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{Qy}$ 下的标准型为 $y_1^2+y_2^2$ ，且 $Q$ 的第三列为 ${\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{\mathrm{T}}}$。
   (1)求矩阵 $\mathbf{A}$;
   (2)证明 $\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{E}$ 为正定矩阵，其中 $\mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。
8. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 ${\displaystyle f(x,y)=A{e}^{-2x^2+2xy-y^2},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty }}$,求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$
9. 设总体 $X$ 的概率分布为
   
   图 1
   其中参数 $\theta \in (0,1)$ 未知，以 $N_i$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$）中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$ ，试求常数 $a_1,a_2,a_3$ ，使 ${\displaystyle T=\sum _{n=1}^3{a}_i{N}_i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方差。