中国科学院 2013 年考研数学(甲)

贡献者： addis

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1. 选择题

　　 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）

　　 1.函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上是连续函数，$a>0$，则函数 $F(x)= \left\{\begin{aligned} &a,&&f(x)\geqslant a\\ &f(x), &&-a< f(x)< a \\ &-a,&&f(x) \leqslant -a \end{aligned}\right. $

　　 一定是（）
（A）有界可微函数 $\quad$（B）有界连续函数
（C）连续可微函数 $\quad$（D）以上结论都不正确

　　 2.$\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0}} \left(\frac{1}{n^2+2n+1}+\frac{2}{n^2+2n+2}+\dots+\frac{n}{n^2+2n+n} \right) =$（）
（A）1 $\qquad$（A）$ \infty \qquad$ （A）$\frac{1}{2}$ $\qquad$ （D）0

　　 3.函数 $f(x)=(x+2\cos x)^2$ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的最大值是（）
（A）$\frac{\pi ^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+1 \qquad$ （B）$\frac{\pi ^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+2 \qquad$
（C）$\frac{\pi ^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+3\qquad$ （D）$\frac{\pi^2}{4} \qquad$

　　 4.设 $f(x)=x(x+1)\dots(x+20)$，下面四个结论正确的是（）
（A）$f'(-1)>0,f'(-2)>0\quad$（B）$f'(-1)>0,f'(-2)<0\quad$
（C）$f'(-1)<0,f'(-2)<0\quad$（D）$f'(-1)<0,f'(-2)>0$

　　 5.已知 $\displaystyle g(x)\int_{0}^{2} f(x) \,\mathrm{d}{x} =10$，则 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \,\mathrm{d}{x} \int_{0}^{2} g(x) \,\mathrm{d}{x} =$（）
（A）20 $\quad$（B）10 $\quad$（C）5 $\quad$（D）不能确定

　　 6.$ \displaystyle \lim_{\substack{x \to 0,y \to 0}} \frac{xy}{\sqrt[3]{x^4+y^{12}}}$=（）
（A）0 $\quad$（B）$\frac{1}{\sqrt{2}} \quad$（C）$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\quad$（D）不存在

　　 7.$f(u)$ 在区间 $(-2,2)$ 内可导，且 $f'(u)>0,f(0)=0$，$L$ 为单位圆周 $x^2+y^2=1$ 被 $y=x$ 和 $y$ 轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分 $c_1=\int_{L}f(2xy) \,\mathrm{d}{s} $ 和 $c_2=\int_{L}f(2x^2-1) \,\mathrm{d}{s} $ 满足（）
（A）$c_1>0,c_2>0\quad$（B）$c_1>0,c_2<0$
（C）$c_1<0,c_2>0\quad$（D）$c_1<0,c_2<0$

　　 8.设二阶线性齐次常系数微分方程 $y''+ay'+by=0$ 的任一解 $y(x)$ 满足 $x \to +\infty$ 时 $y \to 0$，则实数 $a,b$ 满足（）
（A）$a>0,b>0\quad$（B）$a>0,b<0\quad$（C）$a<0,b>0\quad$（D）$a<0,b<0$

　　 9.幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{\sqrt{n}}$ 的收敛域是（）
（A）$[-2,0)\quad$（B）$(-2,0)\quad$（C）$(-2,0]\quad$（D）$[-2,0]$

　　 10.过点 $(0,0,1)$ 且与直线 $ \left\{\begin{aligned} &x=t+1\\ &y=-t-4\\&z=2t \end{aligned}\right. $ 及 $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ 都平行的平面方程为（）
（A）$5x+2y-z+1=0\quad$（B）$5x-y-3z+3=0$
（C）$3x+y-z+1=0\quad$（D）$-3x-y+z+1=0$

2. 应用题

　　 1.计算 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}x^{(x^x-1)}$。

　　 2.求微分方程 $y''=y'(y-3)$ 满足初始条件 $y(0)=1,y'(0)=-\frac{5}{2}$ 的解。

　　 3.求函数 $f(x)=\pi ^2-x^2$ 在区间 $[-\pi,\pi)$ 上的傅里叶级数。

　　 4.求曲面积分 $\int \int_{S}xy \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} +z^2 \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $，其中 $S$ 为由 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0\leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧（法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角的一侧）及 $z=1$ 的下侧围成的有向曲面。

　　 5.假设函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ 且对于 $x\geqslant 1$，$f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 证明 $\displaystyle \lim_{x \to \infty }f(x)$ 存在，且不大于 $1+\frac{\pi}{4}$。

　　 6.设两个连续函数 $f,g$ 满足：当 $x \in [0,1]$，$f(x)+g(x)\neq0$。证明存在唯一的数 $0\leqslant a \leqslant 1$ 使得 $\int_{a}^{1}|f(x)| \,\mathrm{d}{x} =\int_{0}^{a}g^2(x) \,\mathrm{d}{x} $。

　　 7.证明 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}\int_x^{2x}|\cos t| \,\mathrm{d}{t} =\frac{2}{\pi}$。

　　 8.设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}-xe^x\int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}{x} $，求 $f(x)$ 和 $f'(x)$。

　　 9.函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。证明存在 $\zeta,\eta \in (a,b)$，使得 $f'(\eta)=(b^2+ab+a^2+2)\frac{f'(\zeta)}{3 \zeta ^2 +2}$。

　　 10.函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且对任意 $x \in [0,2]$，有 $|f(x)| \leqslant 1$ 和 $|f''(x)| \leqslant 1$，证明，对任意 $x \in [0,2],|f'(x)|\leqslant 2$ 成立。