中国科学院 2013 年考研数学(甲)

贡献者： addis

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1. 选择题

　　 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）

　　 1.函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上是连续函数，$a>0$，则函数 $F(x)=\{\begin{array}{rlrl}& a,& & f(x)⩾a\\ & f(x),& & -a<f(x)<a\\ & -a,& & f(x)⩽-a\end{array}$

　　 一定是（）
（A）有界可微函数 $$（B）有界连续函数
（C）连续可微函数 $$（D）以上结论都不正确

　　 2.${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{lim}(\frac{1}{n^2+2n+1}+\frac{2}{n^2+2n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+2n+n})=}$（）
（A）1 $$（A）$\mathrm{\infty }$ （A）$\frac{1}{2}$ $$ （D）0

　　 3.函数 $f(x)=(x+2\cos x{)}^2$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值是（）
（A）$\frac{{\pi }^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}+1$ （B）$\frac{{\pi }^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}+2$
（C）$\frac{{\pi }^2}{36}+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}+3$ （D）$\frac{{\pi }^2}{4}$

　　 4.设 $f(x)=x(x+1)\dots (x+20)$，下面四个结论正确的是（）
（A）$f^{\prime }(-1)>0,f^{\prime }(-2)>0$（B）$f^{\prime }(-1)>0,f^{\prime }(-2)<0$
（C）$f^{\prime }(-1)<0,f^{\prime }(-2)<0$（D）$f^{\prime }(-1)<0,f^{\prime }(-2)>0$

　　 5.已知 ${\displaystyle g(x){\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=10}$，则 ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x=}$（）
（A）20 $$（B）10 $$（C）5 $$（D）不能确定

　　 6.${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0,y\to 0\end{array}}{lim}\frac{xy}{\sqrt[3]{x^4+y^{12}}}}$=（）
（A）0 $$（B）$\frac{1}{\sqrt{2}}$（C）$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$（D）不存在

　　 7.$f(u)$ 在区间 $(-2,2)$ 内可导，且 $f^{\prime }(u)>0,f(0)=0$，$L$ 为单位圆周 $x^2+y^2=1$ 被 $y=x$ 和 $y$ 轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分 $c_1={\int }_{L}f(2xy)\mathrm{d}s$ 和 $c_2={\int }_{L}f(2x^2-1)\mathrm{d}s$ 满足（）
（A）$c_1>0,c_2>0$（B）$c_1>0,c_2<0$
（C）$c_1<0,c_2>0$（D）$c_1<0,c_2<0$

　　 8.设二阶线性齐次常系数微分方程 $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ 的任一解 $y(x)$ 满足 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时 $y\to 0$，则实数 $a,b$ 满足（）
（A）$a>0,b>0$（B）$a>0,b<0$（C）$a<0,b>0$（D）$a<0,b<0$

　　 9.幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x+1{)}^n}{\sqrt{n}}}$ 的收敛域是（）
（A）$[-2,0)$（B）$(-2,0)$（C）$(-2,0]$（D）$[-2,0]$

　　 10.过点 $(0,0,1)$ 且与直线 $\{\begin{array}{rl}& x=t+1\\ & y=-t-4\\ & z=2t\end{array}$ 及 $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ 都平行的平面方程为（）
（A）$5x+2y-z+1=0$（B）$5x-y-3z+3=0$
（C）$3x+y-z+1=0$（D）$-3x-y+z+1=0$

2. 应用题

　　 1.计算 ${\displaystyle \underset{x\to 0+}{lim}{x}^{(x^x-1)}}$。

　　 2.求微分方程 $y^{″}=y^{\prime }(y-3)$ 满足初始条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=-\frac{5}{2}$ 的解。

　　 3.求函数 $f(x)={\pi }^2-x^2$ 在区间 $[-\pi ,\pi )$ 上的傅里叶级数。

　　 4.求曲面积分 $\int {\int }_{S}xy\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $S$ 为由 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0⩽z⩽1)$ 的上侧（法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角的一侧）及 $z=1$ 的下侧围成的有向曲面。

　　 5.假设函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ 且对于 $x⩾1$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 证明 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$ 存在，且不大于 $1+\frac{\pi }{4}$。

　　 6.设两个连续函数 $f,g$ 满足：当 $x\in [0,1]$，$f(x)+g(x)\ne 0$。证明存在唯一的数 $0⩽a⩽1$ 使得 ${\int }_a^1|f(x)|\mathrm{d}x={\int }_0^a{g}^2(x)\mathrm{d}x$。

　　 7.证明 ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{\int }_x^{2x}|\cos t|\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi }}$。

　　 8.设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}-x{e}^x{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，求 $f(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$。

　　 9.函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。证明存在 $\zeta ,\eta \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\eta )=(b^2+ab+a^2+2)\frac{f^{\prime }(\zeta )}{3{\zeta }^2+2}$。

　　 10.函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且对任意 $x\in [0,2]$，有 $|f(x)|⩽1$ 和 $|f^{″}(x)|⩽1$，证明，对任意 $x\in [0,2],|f^{\prime }(x)|⩽2$ 成立。