北京大学 1999 年 考研 量子力学

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　　 1. (25 分) 简要回答以下问题
(a) 简述 “不确定原理”（测不准关系），说明其意义。
(b) 试述 “态的叠加原理”，说明其意义。
(c) 全同粒子有什么特性？对波函数有什么要求？举例说明之。

　　 2. (10 分) 已知在 $\hat{J}$ 和 ${\hat{L}}_z$ 的共同表象中，${\hat{L}}_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，试求其本征值和本征函数，并写出在自身表象中的矩阵表示。

　　 3. (15 分) 一个原子在 $z$ 向磁场 $B$ 中，除了能级的塞曼分裂外，还受到 $\mathrm{\Delta }{\hat{H}}_d=\frac{{\mu }_B^2}{2c^2{a}_0}{B}^2{n}^2{\sin }^2\theta$ (c.g.s) 的微扰，
(a)] 已知 H 原子基态，$\mathrm{\Psi }(1s)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-r/a_0}$，求一级微扰能 $\mathrm{\Delta }{E}_d$。
(b)] 估计这项修正的量级（设 $B={10}^4$ 高斯），与塞曼分裂（${\mu }_{B}B$ 量级）比较。
(c)] 分析这个修正的物理意义。

　　 4. (15 分) 氢原子基态 $I^2{S}_{1/2}$，氢原子核的自旋 $I=1/2$，核自旋与电子相互作用使能级产生超精细分裂。已知超精细相互作用哈密顿量是 $\mathrm{\Delta }\hat{H}=A\overrightarrow{I}\cdot \overrightarrow{J}$，式中 $\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}$ 分别是核自旋角动量和电子总角动量，A 是常数
(a) 用 $IJF$ 和表示总角动量 ( $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}+\overrightarrow{J}$)
(b) 目前 $I=1/2,J=1/2$，求基态 $I^2{S}_{1/2}$ 能级的超精细分裂，并作图表示之。

　　 5. (15 分) 在一维无限深势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0\le x\le a\\ \\ \mathrm{\infty }& x<0,0>a\end{array}$ 中

　　 (a) 求一个粒子在此势阱中的能量本征值及相应的本征函数。

　　 (b) 一个粒子开始时处于基态，如突然使势阱宽度扩展为 $2a$，问该粒子在扩展后仍处于基态的几率是多少？

　　 6. (20 分) 一个二能级系统为右图。用圆频率为 ${\omega }_0$ 的光去照射, 引起受激跃迁。体系的波函数为 $$\mathrm{\Psi }=a_1{e}^{-i{\omega }_{1}t}|1⟩+a_2{e}^{-i{\omega }_{2}t}|2⟩,$$ 相互作用的哈密顿量为 $$\hat{H}=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{E_0}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$$

　　 (a) 用含时薛定谔方程求 t 时刻粒子处于 $|2⟩$ 态的几率，证明 $$|a_2(t){|}^2={\sin }^{2}Vt,V=\frac{{\overrightarrow{\mu }}_{12}\cdot {\overrightarrow{E}}_0}{2\hslash },$$ 初条件为 $t=0$ 时，粒子处于 $|1⟩$ 态。(注: 忽略 $e^{2i{\omega }_{0}t}$ 项, 又 ${\overrightarrow{\mu }}_{12}={\overrightarrow{\mu }}_{12}$)

　　 (b) 定性分析这个结果的物理意义。