北京大学 2000 年 考研 量子力学

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　　 1. (20 分) 质量为的粒子, 在位势 $$V(x)=a\delta (x)+V^{\prime }(x),(a<0)$$ $$V^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0,\\ \\ V_0& x>0,\end{array}(V_0>0)$$ 中运动,
(a) 试给出在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。
(b) 给出粒子处于 $x>0$ 区域的几率。它是大于 1/2, 还是小于 1/2, 为什么？

　　 2. (10 分) 态 $|\alpha ⟩$ 和 $|\beta ⟩$ 是复原子的定态 (电子和质子的相互作用为库仑作用, 并计及电子的自旋-轨道耦合项)
(a)] 给出 $|\alpha ⟩$ 和 $|\beta ⟩$ 态的守恒量完全集。
(b)] 若 $⟨\beta |f(r)\hat{\mathbf{s}}\cdot \overrightarrow{r}|\alpha ⟩\ne 0$, 则 $|\alpha ⟩$ 和 $|\beta ⟩$ 态的哪些量子数可能是不同的, 为什么？
(注: $f(r)$ 是 $r$ 的径向函数, $\hat{s},\overrightarrow{r}$ 为电子的自旋和坐标矢量)

　　 3. (16 分) 三个自旋为 1/2 的粒子，在 $(s_{1z},s_{2z})$ 表象中的表示为 $\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\beta }_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_2\\ {\beta }_2\end{array}\right)$, 其中，${\left|{\alpha }_i\right|}^2$ 是第 $i$ 粒子自旋向上的几率，${\left|{\beta }_i\right|}^2$ 是第 $i$ 粒子自旋向下的几率。

(a) 求哈密顿量 $$\hat{H}=V_0({\sigma }_{1x}{\sigma }_{2y}-{\sigma }_{1y}{\sigma }_{2z})$$ 的本征值和本征函数 ( $V_0$ 为一常数)

(b) 在 $t=0$ 时，体系处于态 ${\alpha }_1={\beta }_2=1,{\alpha }_2={\beta }_1=0$，求此时刻发现体系在态 ${\alpha }_1={\beta }_2=0,{\alpha }_2={\beta }_1=1$ 的几率。 (注：${\sigma }_{1x},{\sigma }_{1y}$ 为第一个粒子泡利算符的 $x,y$ 分量)

　　 4.(10 分)考虑一维谐振子，其哈密顿量 $$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})$$ 而 $[a,a]=[a^{†},a^{†}]=0,[a,a^{†}]=1$。

(a)若 $|0⟩$ 是归一化的基态矢（$(a|0⟩=0)$），则第 $n$ 个激发态为 $$|n⟩=N_n(a^{†}{)}^n|0⟩$$ 求归一化因子 $N_n$；

(b)若外加一微扰，${\hat{H}}^{\prime }=g{a}^{†}{a}^{†}aa$，试求第 $n$ 个激发态的能量本征值（准至 $g$ 一级）。

　　 5.(22 分) 考虑体系 $\hat{H}=T+V(x)$, $$V(x)=\{\begin{array}{ll}Ax& x>0\\ \\ \mathrm{\infty }& x<0\end{array}(A>0)$$

(a)利用变分法，取试探函数为 $${\mathrm{\Psi }}_1(x)={\left(\frac{2}{b\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-\frac{x^2}{2b^2}}$$

求基态能量上限；

(b)我们知道试探波函数为 $${\mathrm{\Psi }}_2(x)={\left(\frac{1}{b\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\frac{2x}{b}{e}^{-\frac{x^2}{2b^2}}$$

则基态能量上限为 $E_2={\left(\frac{81}{\pi m}\right)}^{1/3}{\left(\frac{A^2{\hslash }^2}{m}\right)}^{1/3}$, 对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？