首都师范大学 2012 年 考研 量子力学

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　　 一、能量为 $E$ 的粒子沿 $x$ 正方向入射，遇到势垒 $U(x)=\delta(x)$。(共 30 分，每小题 15 分)

1. 波函数标准化条件中的连续性变成什么性质了?
2. 透射率是多少?

　　 二、某势阱中有两个粒子分别处于两个不同的单粒子本征态，空间波函数表示为 $\varphi_1$,和 $\varphi_2$，忽略粒子间相互作用。(共 30 分，每小题 10 分)

1. 两个粒子都是电子，体系有几个相互独立的总波函数?
2. 两个粒子都是自旋为 0，写出总波函数的空间部分。
3. 一个是电子，一个是自旋为 1 的粒子，整个体系的总自旋最小量子数多大?

　　 三、宽为 $a$ 的一维无限深势阱中的粒子处于归一化状态: $$\psi(x) = \sqrt{\frac{1}{2a}} \sin \frac{\pi x}{a} \left(1 - 2 \sqrt{3} \cos \frac{\pi x}{a} \right)~$$ 能量可观测值及其几率是多少?(30 分)

　　 四、对于单电子自旋(共 30 分每小题 10 分)

1. 将自旋算符 $S_y$，对角化。(10 分)
2. 写出 $S_x$ 在 $S_y$，表象下的表示。(10 分)
3. 写出 $S_y$ 的两个本征态在 $S_y$ 表象下的表示(10 分)

　　 五、证明题(共 30 分，每小题 15 分，任选两题，如果都做，按得分最高的两道题计分)

1. 导出定态薛定谔方程。
2. 导出微扰一级修正的能量表达式。
3. 证明平均值公式 $\overline{F} = \int \psi^* \hat{F} \psi d\tau$。