北京大学 2015 年 考研 量子力学

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1. 一

　　 给定一维无限深势阱的波函数 $\psi_n$。求：

1. $E_n$；
2. $\langle p \rangle$，$\langle p^2 \rangle$；
3. $\psi_n$ 的 $\Delta p$ 是否为 0？说明理由。
4. 动量为 $p$ 的概率密度。

2. 二

　　 在一维无限深势阱中有 2 个粒子，一个处于基态，一个处于第一激发态。按以下三种情况求 $\langle p_1 + p_2 \rangle$ 和 $\langle (p_1 + p_2)^2 \rangle$：

1. 粒子可分辨；
2. 全同玻色子；
3. 全同费米子。

3. 三

　　 $\vec{r} = \vec{x} \cos \theta + \vec{y} \sin \theta$，$\hat s_r = \hat{s} \cdot \vec{r}$，给定 $\hat s_x$，$\hat s_y$，$\hat s_z$ 的表达式。

1. 求 $ \hat\sigma_r$ 的表达式（矩阵），本征态和本征值。
2. 某个态（自旋单态）测得 $\hat s_z$，$\hat s_r$ 均为 +$\hbar/2$ 的概率。
3. 求自旋单态的 $\langle \hat s_z ,\hat s_r \rangle$，以及 $\langle \hat s_r ,\hat s_z ?\rangle$。

4. 四

　　 已给出 H 原子波函数表示式 $\psi_{nlm}$: $\psi_{100}$、$\psi_{200}$、$\psi_{210}$、$\psi_{21\pm 1}$。对于态: $\psi = \psi_{200}/\sqrt{2} + \psi_{210}/{2} +\psi_{211}/{2}$

　　 求:

1. $E$ 的测量值和概率；
2. $L_z$ 的测量值和概率；
3. $L_x$、$L_y$ 的测量值和概率，并证明 $\Delta L_x \Delta L_y \geq \frac{\hbar}{2} \langle L_z \rangle$~。

5. 五

　　 $H$ 原子在外电场中，$H' = Fz$。求基态和第一激发态的微扰一级能量。