北京大学 2015 年 考研 量子力学

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1. 一

　　 给定一维无限深势阱的波函数 ${\psi }_n$。求：

1. $E_n$；
2. $⟨p⟩$，$⟨p^2⟩$；
3. ${\psi }_n$ 的 $\mathrm{\Delta }p$ 是否为 0？说明理由。
4. 动量为 $p$ 的概率密度。

2. 二

　　 在一维无限深势阱中有 2 个粒子，一个处于基态，一个处于第一激发态。按以下三种情况求 $⟨p_1+p_2⟩$ 和 $⟨(p_1+p_2{)}^2⟩$：

1. 粒子可分辨；
2. 全同玻色子；
3. 全同费米子。

3. 三

　　 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{x}\cos \theta +\overrightarrow{y}\sin \theta$，${\hat{s}}_r=\hat{s}\cdot \overrightarrow{r}$，给定 ${\hat{s}}_x$，${\hat{s}}_y$，${\hat{s}}_z$ 的表达式。

1. 求 ${\hat{\sigma }}_r$ 的表达式（矩阵），本征态和本征值。
2. 某个态（自旋单态）测得 ${\hat{s}}_z$，${\hat{s}}_r$ 均为 +$\hslash /2$ 的概率。
3. 求自旋单态的 $⟨{\hat{s}}_z,{\hat{s}}_r⟩$，以及 $⟨{\hat{s}}_r,{\hat{s}}_z?⟩$。

4. 四

　　 已给出 H 原子波函数表示式 ${\psi }_{nlm}$: ${\psi }_{100}$、${\psi }_{200}$、${\psi }_{210}$、${\psi }_{21\pm 1}$。对于态: $\psi ={\psi }_{200}/\sqrt{2}+{\psi }_{210}/2+{\psi }_{211}/2$

　　 求:

1. $E$ 的测量值和概率；
2. $L_z$ 的测量值和概率；
3. $L_x$、$L_y$ 的测量值和概率，并证明 $\mathrm{\Delta }{L}_x\mathrm{\Delta }{L}_y\ge \frac{\hslash }{2}⟨L_z⟩$~。

5. 五

　　 $H$ 原子在外电场中，$H^{\prime }=Fz$。求基态和第一激发态的微扰一级能量。