北京大学 2007 年 考研 量子力学

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　　 1.已知 $\varphi ={\left(\frac{3}{4}\right)}^{1/2}{Y}_{11}(\theta ,\varphi )+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{1/2}{Y}_{10}(\theta ,\varphi )+A{Y}_{1-1}(\theta ,\varphi )$, $(a>0)$。

　　 (a) 求 $L_z$ 和 $L^2$ 的平均值；

　　 (b) 求 $⟨\varphi |L_z|\varphi ⟩$, $⟨\varphi |L_{-}|\varphi ⟩$。

　　 2.已知 $|+⟩$, $|-⟩$ 表示自旋为 $z$ 方向上、向下的态。现有两个粒子，已知 $\psi (0)=\frac{1}{2}|++⟩+\frac{1}{2}|+-⟩+(\frac{1}{2}{)}^{1/2}|--⟩$, $H={\omega }_1{s}_{1z}+{\omega }_2{s}_{2z}$。求：

　　 (a) $t$ 时刻的波函数；

　　 (b) 求 $⟨s_{1z}⟩$, $⟨s_{2z}⟩$。

　　 3.在连续势 $V=-q{E}_{0}x$ 中，$t=0$ 时 $⟨x⟩=x_0$, $⟨p_x⟩=0$。

　　 (a) 求 $t$ 时刻 $⟨{\hat{p}}_x⟩$；

　　 (b) 求 $t$ 时刻 $⟨\hat{x}⟩$；

　　 (c) 将上面的结果与经典结果比较。

　　 4.一粒子自旋向上，且自由运动，当将 $V(x)=-A\delta (x)({\sigma }_{+}+{\sigma }_{-})$ 散射。问：散射后的粒子自旋向下的反射的全反射几率。

　　 5.已知 $\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2(1+\frac{1}{{\cosh }^2\lambda })$。$|0{|}_{range}$ 为基态,$|n⟩$ 为第几个激发态。求：

　　 (a)跃迁几率 $P_0\to 1$；

　　 (b)当 $\lambda \gg {\omega }_0$ 时的跃迁几率 $P_{0\to 2}$。

　　 (c)当 $\frac{\lambda }{{\omega }_0}\to 0$ 时 $P_{0\to 2}$ 的结果如何？