北京大学 2007 年 考研 量子力学

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　　 1.已知 $\phi = \left(\frac{3}{4}\right)^{1/2} Y_{11}(\theta, \phi) + \left(\frac{1}{4}\right)^{1/2} Y_{10}(\theta, \phi) + A Y_{1-1}(\theta, \phi)$, $(a > 0)$。

　　 (a) 求 $L_z$ 和 $L^2$ 的平均值；

　　 (b) 求 $\langle \phi | L_z | \phi \rangle$, $\langle \phi | L_- | \phi \rangle$。

　　 2.已知 $|+\rangle$, $|-\rangle$ 表示自旋为 $z$ 方向上、向下的态。现有两个粒子，已知 $\psi(0) = \frac{1}{2} |++\rangle + \frac{1}{2} |+-\rangle + (\frac{1}{2})^{1/2} |--\rangle$, $H = \omega_1 s_{1z} + \omega_2 s_{2z}$。求：

　　 (a) $t$ 时刻的波函数；

　　 (b) 求 $\langle s_{1z} \rangle$, $\langle s_{2z} \rangle$。

　　 3.在连续势 $V = -q E_0 x$ 中，$t = 0$ 时 $\langle x \rangle = x_0$, $\langle p_x \rangle = 0$。

　　 (a) 求 $t$ 时刻 $\langle \hat p_x \rangle$；

　　 (b) 求 $t$ 时刻 $\langle \hat x \rangle$；

　　 (c) 将上面的结果与经典结果比较。

　　 4.一粒子自旋向上，且自由运动，当将 $V(x) = -A \delta(x)(\sigma_+ + \sigma_-)$ 散射。问：散射后的粒子自旋向下的反射的全反射几率。

　　 5.已知 $\hat{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \left(1 + \frac{1}{\cosh^2\lambda}\right)$。$|0|_{range}$ 为基态,$|n\rangle$ 为第几个激发态。求：

　　 (a)跃迁几率 $P_0\to 1$；

　　 (b)当 $\lambda \gg \omega_0$ 时的跃迁几率 $P_{0 \rightarrow 2}$。

　　 (c)当 $\frac{\lambda}{\omega_0} \rightarrow 0$ 时 $P_{0 \rightarrow 2}$ 的结果如何？