北京大学 2005 年 考研 量子力学

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　　 1.（60 分）简答题，可直接写出结果。

　　 (a) 约化普朗克常量 $\hbar = ?$

　　 (b) 氢原子、二维谐振子、三维谐振子的简并度分别为？

　　 (c) 一维谐振子、二维谐振子的第一激发态的节拍数分别为？

　　 (d) 已知 $l_\pm = l_x \pm il_y $，求 $[l_+, l_-]$，$[l^2, l_+]$。

　　 (e) 求 $[\hat p, \frac{1}{r}]$，$[\hat p, r^2]$。

　　 (f) 在 $x$ 表象中自旋本征值为 $x_0$ 的坐标波函数和动量波函数。

　　 (g) 在 $p$ 表象中自旋本征值为 $p_0$ 的坐标波函数和动量波函数。

　　 (h) 求 $\hat l_x,\hat l_y$ 的共同本征态。

　　 (i) 在相似表象中求 $e^i\frac{\pi}{4}\sigma_x\alpha$，其中 $\alpha$ 是 $S_z =\frac{\hbar}{2} $ 的自旋态。

　　 (j) 写出二维谐振子的两个自量子量完全集。

　　 (k) 粒子处于势 $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 中，试在动量表象中写出其薛定谔方程。

　　 2.（40 分）简答题，可直接写出结果。

　　 (a)在自然单位制下，已知相位差为 $V(x) = \frac{1}{2} (x-a)^2$, 能量本征值为 $\frac{13}{2}$, 在此能量本征态下 $x,\hat p,x^2,\hat p^2$ 的平均值。

　　 (b)证明 $F-H$ 定理，即 $\left( \frac{\partial E_{n}}{\partial \lambda} \right) = \overline{(\frac{\partial H}{\partial \lambda})} _n$。

　　 (c)$\alpha,\beta$ 是自旋向上、向下态,有归一化本征函数 $\Psi=c_1\alpha+c_2\beta$,求算符 $\frac{1}{6}\hat s_x^2 + \frac{5}{6}\hat s_y^2$ 在态 $\Psi$ 中的平均值。

　　 (d) 已知波函数 $\psi(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2\pi}{b}} \sin{bx} & |x| \leq \frac{2\pi}{b} \\ 0 & |x| > \frac{2\pi}{b} \end{cases}$，试求动量的本征值及其几率振幅。

　　 (e) 试在自然单位下求氢原子的 $\frac{1}{r},\frac{1}{r^2}$ 的平均值和径向动能。

　　 3. (10 分) 在薛定谔表象中，坐标、动量算符用 $\hat x_S,\hat p_S$ 表示，试在海森堡表象中求解坐标、动量算符 $\hat x_H, \hat p_{H}$ 的表达式，要求用 $\hat x_S,\hat p_S$ 表示。

　　 4. (22 分)

　　 (a) 体系处于 $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 的第 $n$ 个本征态 $\psi_n(x)$ 中，有两个自旋 $s = 0$ 的全同粒子处于上述势中，试求最低的四个能量本征值，本征函数及其简并度。

　　 (b) 在势场 $V(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}m\omega^2x^2 & x \geq 0 \\ \infty & x > 0 \end{cases}$ 中，有两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，试求最低的四个能量本征值，本征函数及其简并度。

　　 4. (18 分)

　　 (a)已知 $\hat{I}_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，试求 $\hat{I}_x$ 的矩阵表示及其本征值、本征态。

　　 (b) 在 $\hat{l}_y$ 的本征值为 $\frac{\hbar}{2}$ 的本征态中测量 $\hat{l}_x$ 的可能值及其相应的几率。