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（本文根据 CC-BY-SA 协议转载自原搜狗科学百科对英文维基百科的翻译）
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符合平方反比律的物理量在空间中的向量场分布在某一点的散度与该点处的源强成正比，因此若一点处无源，则其散度为零。牛顿万有引力定律及电、磁、光、声音和辐射等多种物理现象都遵循平方反比定律。
平方反比定律适用于力、能量和其他从三维空间中的点源均匀地向外辐射的保守物理量。因为球体的表面积 $(4\pi r^2)$ 与半径的平方成正比，所以当发射的辐射远离源时，它会分布在一个面积与到源距离的平方成正比的区域。因此单位面积(正对点源方向)的辐射强度与该处与点源距离的平方成反比。高斯定律也适用于任何满足平方反比定律的物理量。
引力是有质量的物体之间的吸引力。牛顿定律表明:
“两个质点之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。引力使两个质点沿着它们连线方向相互吸引。”
壳层定理(shell theorem)表明，如果一个物体中的质量分布是球对称的，那么该物体可以被视为质点而不需要作近似。否则，如果我们想计算大质量物体之间的引力，就需要计算所有的点-点引力矢量并进行求和，而净引力可能并不精确得满足平方反比定律。然而，如果质量体之间的距离比它们的尺寸大得多，那么在计算重力时，将物体等价为位于物体质心的质点是合理有效的近似。
引力符合平方反比律的观点最早在 1645 年由伊斯梅尔·布列多斯（Ismael Bullialdus）在 1645 年提出，然而布列多斯不接受开普勒的第二和第三定律，也不赞同克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）对圆周运动(一种存在中心力牵引的直线运动)的计算结果。事实上，布列多斯认为太阳对行星的作用力在远日点是吸引的，而在近日点是排斥的。1666 年，罗伯特·胡克（Robert Hooke）和乔瓦尼·阿方索·博雷利（Giovanni Alfonso Borelli）在论述中都认为是引力一种吸引力[1] (根据胡克 3 月 21 日在伦敦皇家学会做的题为 “关于万有引力” 的演讲；[2] 博雷利发表于 1666 年晚些时候的论著《行星理论》[3])。1670 年，胡克在格雷欣的讲座中阐明引力定律适用于所有天体，并论述了引力随距离减小以及在没有引力的情况下天体将沿直线运动的原理。到 1679 年，胡克认为引力遵循平方反比关系，并在给艾萨克·牛顿的信中传达了这一点：[4]我的假设是物体之间的引力总是与其中心距离的平方成反比。[5]
胡克一直对牛顿声称发明了这一原理而耿耿于怀，尽管牛顿在 1686 年的《原理》一书中承认胡克、雷恩和哈雷分别独立的意识到了太阳系中引力的平方反比定律，[6]并对布列多斯给予了一定的肯定。[7]
两个带电粒子之间的引力或斥力，除了与电荷的乘积成正比外，还与它们之间距离的平方成反比；这就是众所周知的库仑定律，其指数与 2 的偏差小于 $10^{15}$。[8]
点源发出的光或其他线性波的强度(也称为照度或辐照度)是指垂直于电源方向单位面积上的能量，该值与同光源距离的平方成反比；所以一个同样大小的物体在距离光源两倍远的位置单位时间内接收到的能量是原来的四分之一。
更一般地，球面波波前处的辐照度（强度）与同光源距离的平方成反比(假设没有吸收或散射损失)。
例如，太阳的辐射强度在水星处（$0.387$ 个天文）为每平方米 $9126$ 瓦，而在地球处($1$ 个天文单位)仅为每平方米只有 $1367$ 瓦——距离增加大约三倍，辐射强度减少约九倍。
对于非各向同性辐射源，如抛物面天线、前照灯和激光等，其等效辐射源位置位于发光孔后面很远的地方。当你离辐射源很近时，远离光源不大的距离就能使半径翻倍，因此信号下降很快对于一些方向性很好的辐射，如激光，你距离等效离辐射源非常远，因此必须经过很远的距离才能使半径加倍从而减小信号。这意味着相对于向空间各方向均匀发出辐射的各向同性天线，仅向一个方向发射窄波束的天线可以产生更强的信号，这种现象称为天线增益。
在摄影和舞台照明中，平方反比定律用于确定物体靠近或远离光源时光照的变化。为进行快速计算光照变化，只需记住距离加倍时照度降低到四分之一；[9] 类似地，距离增加 $1.4$ 倍(约等于 $2$ 的平方根)时照度减半，距离减小到 $0.7$ 倍(约为 $\frac{1}{2}$ 的平方根)时照度加倍。当光源不是点光源时，平方反比定律通常仍然是一个有效的近似值；当光源的尺寸小于到物体距离的五分之一时，计算误差小于 $1 \%$。[10]
间接电离辐射的电磁能通量密度 随离点源距离的增加的减少量可以用平方反比定律来计算。由于点源的辐射沿径向方向，垂直射线方向的截面构成一个球面，其面积是 $4\pi r^2$，其中 $r$ 是与源的径向距离。这一规律在放射性诊断和放射治疗方案制定中特别重要，尽管这种比例关系在实际情况下一般不严格成立，除非放射源尺寸远远小于与辐照物的距离。
例子
假定某个全方向且各向同性的一个点辐射源的总辐射功率为 $P$。当与源距离远大于源的尺寸时，随着离源距离的增加，辐射功率分布在越来越大的球面上。因为半径为 r 的球体的表面积是 $A=4\pi r^2$，所以距离源 $r$ 处的辐射强度（单位面积上的功率）是
当距离加倍时，辐射强度减小为四分之一；以分贝为单位测量，每增加一倍距离，将减少 $6.02$ 分贝。
在声学中，从点源辐射的球面波前的声压随着距离的加倍减半；因为分贝是强度比的对数，以分贝为单位测量，同样减少 $6.02$ 分贝，声压的比值与距离成反比：
对于三维空间中的无旋矢量场，平方反比定律对应于无源处矢量场散度为零的性质。这可以推广到更高维度。一般来说，对于 $n$ 维欧几里德空间中的无旋矢量场，如果源外部空间无其他源，则矢量场的强度 “$I$” 随着距离 “$r$” 按照逆($n-1$)次幂下降：
14 世纪 “牛津计算者”（Oxford Calculator）团体中的约翰·邓波顿（John Dumbleton）是最早用图形表达函数关系的人之一。他给出了平均速度理论的证明，指出 “匀变速运动由其速度中值确定”，并在他的《自然哲学总论》（约发表于 1349 年）中用这种方法研究了光照强度随距离的衰减规律，并指出光强衰减与距离不成线性关系，但没能揭示处平方反比定律。[11]
天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）在他的著作《光学》（1604 年，原书标题 Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur，拉丁文意为 “对维特洛理论的补充，天文学中的光学”，开普勒一直称其为 “我的光学研究”）第一册的命题 9 中指出，来自点光源的光的传播遵循平方反比定律：[12][13]
原文（拉丁文）: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, amplior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.。
翻译: 从光源发出的光线穿过以光源为圆心的不同球面，其中较小的球面上的光线的密度与较大球面上光线密度的比值，与他们的面积的比值相反，也就是说等于大球与小球球面面积的比值。因为根据命题 6 & 7，较小的球面和较大的球面上有同样多的光，因此在小球面上的光线比比大球面上更加密集。
1645 年，法国天文学家伊斯梅尔·布列多斯(1605-1694)在他的著作《天文学》中驳斥了约翰尼斯·开普勒关于 “重力”[14] 随着距离的倒数而减弱的说法；相反，布列多斯认为，“重力” 随着距离平方的倒数而减弱:[15][16]
原文（拉丁文）: Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi amplitudinem emissa quasi species solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur in maiori spatio & intervallo, ratio autem huius imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.。
翻译: 至于太阳俘获或控制行星的力量，它是物质的，就像用手抓住物体一样，它沿直线向在整个外部世界辐射，就像太阳耀眼的芒一样，这种力量使行星围绕太阳转动；将这种力量视为某种实体，它随着扩散到更大的距离或区域而衰减时，它强度下降的比例与光的情况相同，即与距离的平方成反比。
英国圣公会主教塞思·沃德(Seth Ward ,1617-1689)在他的《伊斯梅尔·布列多斯天文学的哲学基础》(1653 年)一书的评论中宣传了布列多斯的思想，并在他的《天文学几何》(1656 年)一书中宣传了开普勒的行星天文学。
在 1663-1664 年，英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）撰写了他的著作《显微图谱》(1666 年)，其中他讨论了大气高度和地表气压之间的关系。由于大气层围绕着地球，而地球本身就是一个球体，因此地球表面任何单位面积上承载的大气体积都是一个截断的圆锥体(该圆锥体从地球中心延伸地球外的真空空间；显然，由地球表面到大气层最外层截断的圆锥部分就是地球承载的大气体积)。尽管圆锥体的体积与其高度的立方成正比，胡克认为，地球表面的气压反而与大气层的高度成正比，因为重力随高度而减小。虽然胡克没有明确说明重力虽高度减小的数值关系，但只有当重力按离地球中心距离平方的倒数减小时，他提出的关系才成立。[17][18]
[1]Hooke's gravitation was also not yet universal, though it approached universality more closely than previous hypotheses: See page 239 in Curtis Wilson (1989), "The Newtonian achievement in astronomy", ch.13 (pages 233–274) in "Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton", CUP 1989..
[2]Thomas Birch, The History of the Royal Society of London,…(London, England: 1756), vol. 2, pages 68–73; see especially pages 70–72..
[3]Giovanni Alfonso Borelli, Theoricae Mediceorum Planetarum ex Causius Physicis Deductae [Theory [of the motion] of the Medicean planets [i.e., moons of Jupiter] deduced from physical causes] (Florence, (Italy): 1666)..
[4]Koyré, Alexandre (1952). "An Unpublished Letter of Robert Hooke to Isaac Newton". Isis. 43 (4): 312–337. doi:10.1086/348155. JSTOR 227384..
[5]Hooke's letter to Newton of 6 Jan. 1680 (Koyré 1952:332)..
[6]Newton acknowledged Wren, Hooke and Halley in this connection in the Scholium to Proposition 4 in Book 1 (in all editions): See for example the 1729 English translation of the Principia, at page 66..
[7]In a letter to Edmund Halley dated June 20, 1686, Newton wrote: "Bullialdus wrote that all force respecting ye Sun as its center & depending on matter must be reciprocally in a duplicate ratio of ye distance from ye center." See: I. Bernard Cohen and George E. Smith, ed.s, The Cambridge Companion to Newton (Cambridge, England: Cambridge University Press, 2002), page 204..
[8]Williams, Faller, Hill, E.; Faller, J.; Hill, H. (1971), "New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass", Physical Review Letters, 26 (12): 721–724, Bibcode:1971PhRvL..26..721W, doi:10.1103/PhysRevLett.26.721CS1 maint: Multiple names: authors list (link).
[9]Millerson,G. (1991) Lighting for Film and Television – 3rd Edition p.27.
[10]Ryer,A. (1997) "The Light Measurement Handbook", ISBN 0-9658356-9-3 p.26.
[11]John Freely, Before Galileo: The Birth of Modern Science in Medieval Europe (2012).
[12]Johannes Kepler, Ad Vitellionem Paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (Frankfurt, (Germany): Claude de Marne & heir Jean Aubry, 1604), page 10..
[13]Translation of the Latin quote from Kepler's Ad Vitellionem paralipomena is from: Gal, O. & Chen-Morris, R.(2005) "The Archaeology of the Inverse Square Law: (1) Metaphysical Images and Mathematical Practices," History of Science, 43 : 391–414 ; see especially p. 397..
[14]Note: Both Kepler and William Gilbert had nearly anticipated the modern conception of gravity, lacking only the inverse-square law in their description of "gravitas". On page 4 of chapter 1, Introductio, of Astronomia Nova, Kepler sets out his description as follows: "The true theory of gravity is founded on the following axioms: Every corporeal substance, so far forth as it is corporeal, has a natural fitness for resting in every place where it may be situated by itself beyond the sphere of influence of a body cognate with it. Gravity is a mutual affection between cognate bodies towards union or conjunction (similar in kind to the magnetic virtue), so that the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth. ... If two stones were placed in any part of the world near each other, and beyond the sphere of influence of a third cognate body, these stones, like two magnetic needles, would come together in the intermediate point, each approaching the other by a space proportional to the comparative mass of the other. If the moon and earth were not retained in their orbits by their animate force or some other equivalent, the earth would mount to the moon by a fifty-fourth part of their distance, and the moon fall towards the earth through the other fifty-three parts, and they would there meet, assuming, however, that the substance of both is of the same density." Notice that in saying "the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth" Kepler is breaking away from the Aristotelian tradition that objects seek to be in their natural place, that a stone seeks to be with the earth..
[15]Ismail Bullialdus, Astronomia Philolaica…(Paris, France: Piget, 1645), page 23..
[16]Translation of the Latin quote from Bullialdus' Astronomia Philolaica…is from: O'Connor, John J. and Roberson, Edmund F. (2006) "Ismael Boulliau" Archived 30 11 月 2016 at the Wayback Machine, The MacTutor History of Mathematics Archive, School of Mathematics and Statistics, University of Saint Andrews, Scotland..
[17](Gal & Chen-Morris, 2005), pp. 391–392..
[18]Robert Hooke, Micrographia…(London, England: John Martyn, 1667), page 227: "[I say a Cylinder, not a piece of a Cone, because, as I may elsewhere shew in the Explication of Gravity, that triplicate proportion of the shels of a Sphere, to their respective diameters, I suppose to be removed in this case by the decrease of the power of Gravity.]".
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