安培力定律（综述）

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　　在静磁学中，两根载流导线之间的吸引或排斥力（见下方第一幅图）通常被称为安培力定律。这种力的物理来源是每根导线根据毕奥-萨伐尔定律产生磁场，而另一根导线则根据洛伦兹力定律受到磁力作用。

1. 公式

特殊情况：两条直平行导线

　　安培力定律中最为人熟知且最简单的例子（在 2019 年 5 月 20 日之前[1]）用来定义电流的国际单位制（SI）单位安培。该定律表述，两条直平行导线之间的每单位长度的磁力为： $\frac{F_{m}}{L} = 2 k_{A} \frac{I_{1} I_{2}}{r},$ 其中： $k_{A}$ 是由毕奥-萨伐尔定律定义的磁力常数； $\frac{F_{m}}{L}$ 是单位长度上的总磁力（在较短导线上，较长导线被近似为相对于较短导线无限长）； $r$ 是两导线之间的距离； $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是两导线中传输的直流电流。

　　这种公式在以下情况下是良好的近似：如果一根导线的长度远大于另一根，可以将较长的导线近似为无限长；如果两根导线之间的距离相对于导线的长度较小（使得无限长导线近似成立），但同时相对于导线的直径又较大（使得导线可以被近似为无限细的线）。 $k_{A}$ 的值取决于所选的单位系统，而 $k_{A}$ 的值决定了电流单位的大小。

　　在国际单位制（SI）中[2][3]： $k_{A} = \frac{μ_{0}}{4 π},$ 其中： $μ_{0}$ 是磁常数（在国际单位中，称为真空磁导率）。

　　 SI 单位中，磁常数的值为： $μ_{0} = 1.25663706212 (19) \times 10^{- 6} H/m .$

一般情况

　　针对任意几何形状的磁力的一般公式基于迭代线积分，并将毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹力结合在一个公式中，具体如下：[4][5][6] $F_{12} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} \frac{I_{1} d ℓ_{1} \times (I_{2} d ℓ_{2} \times {\hat{r}}_{21})}{| r |^{2}},$ 其中：

$F_{12}$ 是由导线 2 对导线 1 施加的总磁力（通常以牛顿为单位测量）；
$I_{1}$ 和 $I_{2}$ 分别是通过导线 1 和导线 2 的电流（通常以安培为单位测量）；
双重线积分表示导线 2 上的每个微元对导线 1 上的每个微元产生的磁力的总和；
$d ℓ_{1}$ 和 $d ℓ_{2}$ 是与导线 1 和导线 2 对应的微小向量（通常以米为单位），关于线积分的详细定义可参考相关资料；
${\hat{r}}_{21}$ 是从导线 2 上的微元指向导线 1 上微元的单位向量，|r|** 是这两个微元之间的距离；
符号 × 表示矢量叉乘；
电流 $I_{n}$ 的正负号取决于其与 $d ℓ_{n}$ 的方向关系（例如，如果 $d ℓ_{1}$ 指向传统电流方向，则 $I_{1} > 0$ ）。

　　若需确定材料介质中导线之间的磁力，则需要将磁常数 $μ_{0}$ 替换为介质的实际磁导率。

　　通过展开向量三重积并应用斯托克斯定理，该定律可以以以下等效形式重写：[7] $F_{12} = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} \frac{(I_{1} d ℓ_{1} \cdot I_{2} d ℓ_{2}) {\hat{r}}_{21}}{| r |^{2}} .$ 在这种形式下，可以立即看出，由导线 2 对导线 1 施加的力与由导线 1 对导线 2 施加的力大小相等方向相反，这与牛顿第三定律一致。

2. 历史背景

图 1：安培原始实验的示意图

　　 1873 年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦推导出了通常表述的安培力定律，这是与安培和高斯的原始实验一致的多种表达式之一。关于两个直线电流 $I$ 和 $I^{'}$ 之间的力的 $x$ 分量（见相邻图示），安培在 1825 年和高斯在 1833 年分别给出了如下公式：[8] $d F_{x} = k I I^{'} d s^{'} \int d s \frac{\cos (x d s) \cos (r d s^{'}) - \cos (r x) \cos (d s d s^{'})}{r^{2}} .$ 安培之后，众多科学家（包括威廉·韦伯、鲁道夫·克劳修斯、麦克斯韦、伯恩哈德·黎曼、赫尔曼·格拉斯曼和瓦尔特·里茨）对这一表达式进行了发展，试图寻找磁力的基本表达式。通过微分计算可以得到： $\frac{\cos (x d s) \cos (r d s^{'})}{r^{2}} = - \cos (r x) \frac{\cos ε - 3 \cos ϕ \cos ϕ^{'}}{r^{2}},$ 以及： $\frac{\cos (r x) \cos (d s d s^{'})}{r^{2}} = \frac{\cos (r x) \cos ε}{r^{2}} .$ 基于这些表达式，安培力定律可以进一步表示为： $d F_{x} = k I I^{'} d s^{'} \int d s^{'} \cos (r x) \frac{2 \cos ε - 3 \cos ϕ \cos ϕ^{'}}{r^{2}} .$ 此外，使用以下关系： $\frac{\partial r}{\partial s} = \cos ϕ, \frac{\partial r}{\partial s^{'}} = - \cos ϕ^{'},$ 以及： $\frac{\partial^{2} r}{\partial s \partial s^{'}} = \frac{- \cos ε + \cos ϕ \cos ϕ^{'}}{r} .$ 可以将安培的结果表示为： $d^{2} F = \frac{k I I^{'} d s d s^{'}}{r^{2}} (\frac{\partial r}{\partial s} \frac{\partial r}{\partial s^{'}} - 2 r \frac{\partial^{2} r}{\partial s \partial s^{'}}) .$ 麦克斯韦指出，该表达式中可以添加关于函数 $Q (r)$ 的导数项，这些项在积分时会相互抵消。麦克斯韦给出了与实验事实一致的 “最通用形式”： $d^{2} F_{x} = k I I^{'} d s d s^{'} \frac{1}{r^{2}} [(\frac{\partial r}{\partial s} \frac{\partial r}{\partial s^{'}} - 2 r \frac{\partial^{2} r}{\partial s \partial s^{'}} + r \frac{\partial^{2} Q}{\partial s \partial s^{'}}) \cos (r x) + \frac{\partial Q}{\partial s^{'}} \cos (x d s) - \frac{\partial Q}{\partial s} \cos (x d s^{'})] .$

　　麦克斯韦指出，对于一个封闭电路，函数 $Q (r)$ 的形式无法通过实验直接确定。假设 $Q (r)$ 的形式为： $Q = - \frac{(1 + k)}{2 r} .$ 我们得到 ds 上由 ds' 施加的力的一般表达式： $d^{2} F = - \frac{k I I^{'}}{2 r^{2}} [(3 - k) {\hat{r}}_{1} (d s d s^{'}) - 3 (1 - k) {\hat{r}}_{1} ({\hat{r}}_{1} d s) ({\hat{r}}_{1} d s^{'}) - (1 + k) d s ({\hat{r}}_{1} d s^{'}) - (1 + k) d s^{'} ({\hat{r}}_{1} d s)] .$ 通过对 $s^{'}$ 的积分可以消去 $k$ ，从而恢复安培和高斯给出的原始表达式。因此，就安培的原始实验而言， $k$ 的取值并没有实际意义。安培取 $k = - 1$ ；高斯取 $k = + 1$ ，格拉斯曼和克劳修斯也取 $k = + 1$ ，不过克劳修斯忽略了 $S$ 分量。在非以太电子理论中，韦伯取 $k = - 1$ ，而黎曼取 $k = + 1$ 。里兹在其理论中未明确指定 $k$ 的值。如果取 $k = - 1$ ，我们得到安培的表达式： $d^{2} F = - \frac{k I I^{'}}{r^{3}} [2 r (d s d s^{'}) - 3 r (r d s) (r d s^{'})]$ 如果取 $k = + 1$ ，我们得到： $d^{2} F = - \frac{k I I^{'}}{r^{3}} [r (d s d s^{'}) - d s (r d s^{'}) - d s^{'} (r d s)]$

　　利用三重叉积的矢量恒等式，可以将结果表示为： $d^{2} F = \frac{k I I^{'}}{r^{3}} [(d s \times d s^{'} \times r) + d s^{'} (r d s)]$ 对 $d s^{'}$ 积分时，第二项为零，因此可以得到麦克斯韦形式的安培力定律： $F = k I I^{'} \iint \frac{d s \times (d s^{'} \times r)}{| r |^{3}}$

3. 从一般公式推导平行直导线的情形

　　从一般公式开始： $F_{12} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} \frac{I_{1} d ℓ_{1} \times (I_{2} d ℓ_{2} \times {\hat{r}}_{21})}{| r |^{2}},$ 假设导线 2 位于 $x$ -轴上，导线 1 位于 $y = D, z = 0$ ，与 $x$ -轴平行。令 $x_{1}, x_{2}$ 分别表示导线 1 和导线 2 的微小线元的 $x$ -坐标。换句话说，导线 1 的微小线元位于 $(x_{1}, D, 0)$ ，而导线 2 的微小线元位于 $(x_{2}, 0, 0)$ 。根据线积分的性质： $d ℓ_{1} = (d x_{1}, 0, 0)$ 且 $d ℓ_{2} = (d x_{2}, 0, 0) .$

　　此外， ${\hat{r}}_{21} = \frac{1}{\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + D^{2}}} (x_{1} - x_{2}, D, 0),$ 且 $| r | = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + D^{2}} .$ 因此积分为： $F_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} \frac{(d x_{1}, 0, 0) \times [(d x_{2}, 0, 0) \times (x_{1} - x_{2}, D, 0)]}{| (x_{1} - x_{2})^{2} + D^{2} |^{3 / 2}} .$ 计算叉积： $F_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} d x_{1} d x_{2} \frac{(0, - D, 0)}{| (x_{1} - x_{2})^{2} + D^{2} |^{3 / 2}}$ 接下来对 $x_{2}$ 从 $- \infty$ 到 $+ \infty$ 积分： $F_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \frac{2}{D} (0, - 1, 0) \int_{L_{1}} d x_{1} .$ 如果导线 1 也是无限长的，则积分会发散，因为两条无限长平行导线之间的总吸引力是无限大的。实际上，我们真正关心的是导线 1 单位长度上的吸引力。因此，假设导线 1 有一个很大但有限的长度 $L_{1}$ 。那么导线 1 受到的力矢量为： $F_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \frac{2}{D} (0, - 1, 0) L_{1} .$ 正如预期的那样，导线受到的力与其长度成正比。单位长度上的力为： $\frac{F_{12}}{L_{1}} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π D} (0, - 1, 0)$ 力的方向沿 $y$ -轴，这表示如果电流是平行的，导线 1 会被拉向导线 2。单位长度的力大小与上文给出的 $\frac{F_{m}}{L}$ 表达式一致。

4. 著名推导

　　按时间顺序排列：

安培最初的 1823 年推导：
Assis, André Koch Torres; Chaib, J. P. M. C.; Ampère, André-Marie (2015)。Ampère's electrodynamics: analysis of the meaning and evolution of Ampère's force between current elements, together with a complete translation of his masterpiece: Theory of electrodynamic phenomena, uniquely deduced from experience (PDF)。蒙特利尔：Apeiron。ISBN 978-1-987980-03-5。
麦克斯韦 1873 年的推导：
Treatise on Electricity and Magnetism*，第 2 卷，第 4 部分，第 2 章（§§502–527）。
皮埃尔·杜亨 1892 年的推导：
Duhem, Pierre Maurice Marie (2018 年 9 月 9 日)。Ampère's Force Law: A Modern Introduction。Alan Aversa（翻译）。[doi:10.13140/RG.2.2.31100.03206/1](https://doi.org/10.13140/RG.2.2.31100.03206/1)。2019 年 7 月 3 日检索。（EPUB）。
翻译自：Leçons sur l’électricité et le magnétisme，第 3 卷，第 14 册附录，第 309–332 页（法文）。
阿尔弗雷德·奥拉希利 1938 年的推导：
Electromagnetic Theory: A Critical Examination of Fundamentals，第 1 卷，第 102–104 页。

5. 另见

安培
磁常数
洛伦兹力
安培环路定律
真空（自由空间

6. 参考文献和注释

　　
1. "第 26 届 CGPM 决议" (PDF). BIPM. 检索于 2020 年 8 月 1 日。
2. Raymond A Serway & Jewett JW (2006). Serway 的物理学原理：基于微积分的文本 (第四版). 贝尔蒙特，加利福尼亚：汤普森 Brooks/Cole. 第 746 页. ISBN 0-534-49143-X。
3. Paul M. S. Monk (2004). 物理化学：理解我们的化学世界. 纽约：奇切斯特：Wiley. 第 16 页. ISBN 0-471-49181-0。
4. 此表达式的被积函数出现在关于定义安培的官方文档中。BIPM SI Units brochure, 8th Edition, 第 105 页。
5. Tai L. Chow (2006). 现代视角下的电磁理论导论. 波士顿：Jones and Bartlett. 第 153 页. ISBN 0-7637-3827-1。
6. 安培力定律。参见 “积分方程” 部分获取公式。
7. Christodoulides, C. (1988). “安培和毕奥-萨伐尔静磁力定律在线电流元形式中的比较”. 美国物理学杂志. 56 (4): 357–362. Bibcode:1988AmJPh..56..357C. doi:10.1119/1.15613。
8. O'Rahilly, Alfred (1965). 电磁理论. Dover. 第 104 页. (参见 Duhem, P. (1886). "关于安培定律". 理论物理学杂志. 5 (1): 26–29. doi:10.1051/jphystap:018860050020601. 检索于 2015 年 1 月 7 日，该文出现在 Duhem, Pierre Maurice Marie (1891). *电与磁的教程. 第 3 卷. 巴黎: Gauthier-Villars.)
9. Petsche, Hans-Joachim (2009). 赫尔曼·格拉斯曼传记. 巴塞尔波士顿：Birkhäuser. 第 39 页. ISBN 9783764388591。
10. Maxwell, James Clerk (1904). 电磁学教程. 牛津. 第 173 页。

7. 外部链接

安培力定律 - 包含力矢量的动画图示。

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