中点法解常微分方程（组）

贡献者： addis

　　 我们先来尝试用欧拉法解一阶微分方程

　　 我们知道该方程的解析解为 $y = \mathrm{e} ^{t}$。对比数值解和解析解，不难分析出误差产生的原因：我们仅用每段步长区间左端的导数预测整个区间的曲线增量。如果我们能利用每个区间中点的导数计算整个区间的增量，这个预测将会比欧拉法更精确。

　　 考虑微分方程 $y'(t) = f(y, t)$ 在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 的曲线，若我们已知区间左端的函数值为 $y_n$，我们可以先用微分近似估计曲线中点的函数值为

　　 我们再来用中点法取同样的步长计算式 1 ，结果如图 2 所示。

　　 可见虽然中点法每一步的计算过程比欧拉法稍微复杂一些，但精度却大大地提高了。

　　 中点法同样适用于微分方程组，例如对于常微分方程组

% 设置参数
N = 6;
h = 0.5;
t = linspace(0, (N-1)*h, N); % 自变量
t0 = linspace(0, (N-1)*h, 100); % 用于画图

% 欧拉法
y = zeros(1,N); % 预赋值
y(1) = 1; % 初值
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*y(ii);
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(t0, exp(t0));

%中点法
y = zeros(1,N);
y(1) = 1;
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*(y(ii) + 0.5*h*y(ii));
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(x0, exp(x0));