常微分方程(组)的数值解

             

预备知识 天体运动的简单数值计算

   数值解微分方程或微分方程组时,一般需要先把微分方程(组)化成一阶微分方程组.例如在 “弹簧振子受迫运动的简单数值计算” 中列出的微分方程为

\begin{equation} m y'' = \alpha y' - ky + f(t) \end{equation}
新增变量,令 $v = y'$,则可变为一阶微分方程组
\begin{equation} \begin{cases} v' = [-\alpha u - ky + f(t)]/m\\ y' = v \end{cases} \end{equation}
方程组中,$t$ 是自变量,$y$ 和 $u$ 是 $t$ 的函数.给出某时刻的 $y(t), u(t), t$ 就可以通过方程组求出 $u'(t)$ 和 $y'(t)$ 的数值.

   又例如在 “天体运动的简单数值计算” 中,列出的二阶微分方程组为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x'' &= -\frac{GM}{(x^2+y^2)^{3/2}}x\\ y'' &= -\frac{GM}{(x^2+y^2)^{3/2}}y \end{aligned}\right. \end{equation}

   新增变量,令 $v_x = x'$,$v_y = y'$,上式也可变为一阶微分方程组

\begin{equation} \begin{cases} x' = v_x\\ v'_x = -GMx/(x^2 + y^2)^{3/2}\\ y' = v_y\\ v'_y = -GMy/(x^2 + y^2)^{3/2} \end{cases} \end{equation}
该式中同样 $t$ 是自变量,其他都是 $t$ 的函数,给出某时刻的 $x, y, v_x, v_y, t$ 就可以由该方程组求出各函数的一阶导数.

   在以上两个例子中,我们使用了一种较为原始的方法(微分近似).这种方法相当于把某时刻 $t$ 的各函数值代入一阶微分方程组,得到 $t$ 时刻各函数的一阶导数,再通过微分近似由这些一阶导数来计算其 $[t, t + \Delta t]$ 时间内的增量,得到 $t +\Delta t$ 时刻的各函数值,再代入一阶方程组得到 $t +\Delta t$ 时刻各函数的一阶导数,如此一直循环,得到各函数每隔 $\Delta t$ 时间的值.这种方法叫做欧拉法.对一阶常微分方程 $y'(t) = f(y, t)$,令 $h = \Delta t$,$t_n = t_0 + nh$,$y_n = y(t_n)$ 欧拉法可以表示为

\begin{equation} y_{n+1} = y_n + h f(y_n, t_n) \end{equation}

   以下介绍三种更精确的算法,在步长($\Delta t$)相同时它们的精确度递增.注意虽然大多数问题中自变量是时间,但这些方法适用于大多数单个自变量的微分方程(组).

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