南京航空航天大学 2015 量子真题

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1. 简答题(20 分，每题 10 分)

　　 ①证明：薛定谔方程中如果 $V(x)$ 是偶函数，即 $V(-x)=V(x)$，那么波函数 $\psi (x)$ 总 可以取作偶函数或奇函数。

　　 ②经典物理中一个矢量 $\overrightarrow{r}$ 与自身的矢量积(叉乘)恒为零 $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r}\equiv 0$ ，对于量子力学 中矢量算符这一结论仍然普遍成立吗？试举例说明。

2. 二

　　 如果算符 $\hat{P}$ 满足等幂性，即 ${\hat{P}}^2=\hat{P}$，那么我们称为 $\hat{P}$ 投影算符，试证明两 投影算符 ${\hat{P}}_1$、${\hat{P}}_1$ 之和 ${\hat{P}}_1+{\hat{P}}_2$ 也为为投影算符的重要条件为这两个投影算符对易 $[{\hat{P}}_1,{\hat{P}}_2=0]$。(20 分)

3. 三

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维无限深方势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{others}\end{array}$ 中运动，

　　 1. 若已知 $t=0$ 时，该粒子状态为 $\psi (x,0)=\sqrt{\frac{1}{a}}(1+\cos \frac{\pi x}{a})\sin \frac{\pi x}{a}$，求 $t>0$ 时刻该粒子的波函数；

　　 2. 求 $t>0$ 时刻测量到粒子的能量为 $\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ 的几率是多少？

　　 3. 求 $t>0$ 时刻粒子的平均能量 $\overline{E}$ 和平均位置 $\overline{x}$。

　　 （30 分）

4. 四

　　 质量为 $m$、电荷为 $q$ 的粒子在三维各向同性谐振子势 $$V(r)=m{\omega }^2(x^2+y^2+z^2)/2$$ 中运动，同时受到一个沿 $x$ 方向的均匀电场 $E=E_{0}xi$ 作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。(30 分)

5. 五

　　 设氢原子处于状态

　　 1. 求轨道角动量 ${\hat{L}}_z$ 分量 $L_z$ 和自旋角动量 ${\hat{\sigma }}_z$ 分量 ${\sigma }_z$ 的平均值；

　　 2. 求总磁矩 $\hat{\overrightarrow{M}}=-\frac{e}{2\mu }\hat{\overrightarrow{L}}-\frac{e}{\mu }\hat{\overrightarrow{S}}$ 的 $z$ 分量的平均值。（20 分）

6. 六

　　 一个二能级系统，哈密顿量为 $\hat{H}$，能级大小间隔为 $E_0$。现在此系统受到一个微扰 ${\hat{H}}^{\prime }$。在 $\hat{H}$ 表象中，${\hat{H}}^{\prime }$ 的表示为 ${\hat{H}}^{\prime }=\hat{\lambda }({\sigma }_x+{\sigma }_y)$，其中 ${\sigma }_x,{\sigma }_y$ 是泡利矩阵，$\lambda$ 为实数。请算出系统受微扰后的能级间隔（精确到二级微扰修正）。(30 分)