南京航空航天大学 2014 量子真题

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1. 简答题 (本题 45 分，每小题 15 分)

　　 ①写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。

　　 ②证明：定态波函数 $\psi (x)$ 总可以取作实数的。

　　 ③能量本征态有可能是角动量 ${\hat{L}}^2$ 的本征态吗？有可能是 ${\hat{L}}_z$ 的本征态吗？请回答为什么 并举例说明。

2. 二

　　 在一维无限深势阱中，一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成：$\psi (x,0)=A[{\psi }_1(x)+{\psi }_2(x)]$。为了简化计算可令 $\omega ={\pi }^2\hslash /2m{a}^2$

　　 ①归一化 $\psi (x,0)$，并求 $\psi (x,t)$ 和 $|\psi (x,t){|}^2$，把后者用时间的正弦函数展开。

　　 ②计算〈$x$〉、〈$p$〉的值。它们是随时间振荡的，角频率是多少？振幅是多少？

　　 ③测量粒子的能量，可能得到什么值？得到各个值的几率是多少？求出 $\hat{H}$ 的期望值。并 与 $E_1$ 和 $E_2$ 比较。(本题 20 分)

3. 三

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维线性谐振子势：$V(x)=m{\omega }^2{x}^2/2$ 中运动。在占有数表示中哈密顿量可写为 $\hat{H}=({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})\hslash \omega$，这里 $${\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}-\frac{i}{m\omega }\hat{p}),\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p})$$分别为升、降算符。已知谐振子基态波函数为： $${\psi }_0(x)=\sqrt[4]{\frac{m\omega }{\pi \hslash }}{e}^{-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }}$$ ① 利用升算符性质：$a^{†}{\psi }_n(x)=\sqrt{n+1}{\psi }_{n+1}(x)$，求谐振子第一激发态的波函数；

　　 ② 假设粒子处在基态 $({\psi }_0(x))$，突然改变谐振子的 “振动频率” 为 $({\omega }^{\prime }=2\omega )$，粒子新的基态能量是多少？新的基态波函数是什么？

　　 ③ 假设这时粒子波函数仍然保持 $({\psi }_0(x))$ 不变，此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？（本题 25 分）

4. 四

　　 在 $t=0$ 时，氢原子的波函数 $\mathrm{\Psi }(r,0)$ 为：$$\mathrm{\Psi }(r,0)=\frac{1}{\sqrt{10}}[2{\psi }_{100}+{\psi }_{210}+\sqrt{2}{\psi }_{211}+\sqrt{3}{\psi }_{21-1}]$$ 式中波函数的下标分别为量子数 $n,l,m$ 的值，忽略自旋和辐射跃迁。

　　 ① 写出在 t 时刻的波函数；

　　 ② 在 $t=0$ 时振子能量的平均值是多少？$t=1$ 秒时呢？（本题 20 分）

5. 五

　　 电子静止在一振荡磁场 $\overrightarrow{B}=B_0\cos \left(\omega t\right)\overrightarrow{k}$ 中，其哈密顿量写作 $\hat{H}=-\gamma \overrightarrow{B}\cdot \hat{\overrightarrow{S}}$，其中 $\mathbf{S}$ 为自旋角动量，$\gamma$（旋磁比），$B_0$（磁场振幅）和 $\omega$（振荡圆频率）为三个常数。

　　 1. 构造这个体系的哈密顿矩阵。

　　 2. 电子的初始态 $t=0$ 时为处于 $x$ 轴方向向上的自旋态，即：$\chi (t)={\chi }_0^{(+)}$。确定以后的任意时刻的 $\chi (t)$。

　　 3. 如果测量 $S_x$，求出得到 $-\hslash /2$ 的几率。

　　 4. 迫使 $S_z$ 完全翻转所需要的最小磁场 $B_0$ 是多大？（本题 20 分）

6. 六

　　 粒子在二维无限深方势阱中运动，$V=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x,y<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{其他}\end{array}$。加上微扰 $H^{\prime }=\lambda xy$。求基态、第一激发态能级的一级微扰论修正。(本题 20 分)