南京航空航天大学 2016 量子真题

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1. 简答题(20 分，每题 10 分)

　　 ①什么是束缚态？它有何特性？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚 态？举例说明。

　　 ②球形对称势场中，角动量本征函数是否可以为非球对称？概率密度呢？

二

　　 给定 $(\theta ,\phi )$ 方向的单位矢量 $\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z)=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$ 以及泡利矩阵 $\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$，求 ${\sigma }_n=\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{n}$ 的本征值和本征函数。（20 分）

2. 三

　　 一个质量为 $m$ 的粒子在下面的无限深方势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{others}\end{array}$ 中运动，

　　 开始时 $(t=0)$，系统处于状态 $\psi (x)=4\sin \left(\pi x/a\right){\cos }^3(\pi x/2a)$，其中 $A$ 为常数。求出 $t$ 时刻系统：（30 分）

　　 1. 处于基态的几率； 2. 能量平均值； 3. 动量平均值； 4. 动量均方差根。

3. 四

　　 求电子氢原子基态时 $⟨r⟩$ 和 $⟨r^2⟩$。

　　 (氢原子基态为 ${\psi }_{100}(r,\theta ,\varphi )=e^{-r/a}/\sqrt{\pi a^3}$) (20 分)

4. 五

　　 设有哈密顿量 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\sqrt{2m\hslash {\omega }^3}x$，求：

1. $H$ 的能谱；
2. $H$ 的基态和第一激发态的归一化波函数；
3. 估计基态处于区间 $[0,\sqrt{\hslash /m\omega }]$ 几率。（30 分）

5. 六

　　 考虑一个二维谐振子(取自然单位)$H=(p^2{}_x+p^2{}_y+x^2+y^2)/2$ 已知其最低三个能量本征态为$${\psi }_{00}=\sqrt{1/\pi }{e}^{-(x^2+y^2)/2},{\psi }_{10}=\sqrt{2/\pi }x{e}^{-(x^2+y^2)/2},{\psi }_{01}=\sqrt{2/\pi }y{e}^{-(x^2+y^2)/2}$$ 设有一微扰 $V(x,y)=ϵxy(x^2+y^2)$ 这里 $(ϵ\ll 1)$，试对上述态计算由 $V(x,y)$ 引起的能量一级微扰修正。（30 分）