南京航空航天大学 2016 量子真题

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1. 简答题(20 分，每题 10 分)

　　 ①什么是束缚态？它有何特性？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚 态？举例说明。

　　 ②球形对称势场中，角动量本征函数是否可以为非球对称？概率密度呢？

二

　　 给定 $\left( \theta, \varphi \right)$ 方向的单位矢量 $\vec{n} = \left( n_x, n_y, n_z \right) = \left( \sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta \right)$ 以及泡利矩阵 $\vec{\sigma} = \left( \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \right)$，求 $\sigma_n = \vec{\sigma} \cdot \vec{n}$ 的本征值和本征函数。（20 分）

2. 三

　　 一个质量为 $m$ 的粒子在下面的无限深方势阱 $V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \\\\ \infty, & \text{others} \end{cases}$ 中运动，

　　 开始时 $(t=0)$，系统处于状态 $\psi(x) = 4 \sin\left(\pi x/a\right) \cos^3(\pi x/2a)$，其中 $A$ 为常数。求出 $t$ 时刻系统：（30 分）

　　 1. 处于基态的几率； 2. 能量平均值； 3. 动量平均值； 4. 动量均方差根。

3. 四

　　 求电子氢原子基态时 $\langle r \rangle$ 和 $ \langle r^2 \rangle$。

　　 (氢原子基态为 $\psi_{100}(r, \theta, \phi) = e^{-r/a}/{\sqrt{\pi a^3}} $) (20 分)

4. 五

　　 设有哈密顿量 $\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 + \sqrt{2m\hbar\omega^3} x$，求：

1. $H$ 的能谱；
2. $H$ 的基态和第一激发态的归一化波函数；
3. 估计基态处于区间 $[0, \sqrt{\hbar/m\omega}]$ 几率。（30 分）

5. 六

　　 考虑一个二维谐振子(取自然单位)$H= (p^2{_x} + p^2{_y}+ x^2 + y^2)/{2}$ 已知其最低三个能量本征态为$$\psi_{00} = \sqrt{1/\pi} e^{-(x^2 + y^2)/2}, \quad \psi_{10} = \sqrt{2/\pi} x e^{-(x^2 + y^2)/2}, \quad \psi_{01} = \sqrt{2/\pi} y e^{-(x^2 + y^2)/2}~$$ 设有一微扰 $V(x, y) = \epsilon xy (x^2 + y^2)$ 这里 $(\epsilon \ll 1)$，试对上述态计算由 $V(x, y)$ 引起的能量一级微扰修正。（30 分）