南京航空航天大学 2013 量子真题

贡献者： 待更新

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

1. 简答题 (本题 30 分，每小题 15 分)

　　 ① 如果波函数 $\psi$ 不是力学量 $F$ 的本征态，那么在态 $\psi$ 中测量 $F$ 会发生什么情况？

　　 ② 什么是定态？它有何特性？

2. 二

　　 $\hat{\overrightarrow{A}}=(A_x,A_y,A_z),\hat{\overrightarrow{B}}=(B_x,B_y,B_z)$ 是与泡利算符 $\hat{\sigma }=({\hat{\sigma }}_x,{\hat{\sigma }}_y,{\hat{\sigma }}_z)$ 对易的任意矢量算符，证明： $\hat{\overrightarrow{A}}\cdot \hat{\sigma }(\hat{\overrightarrow{B}}\cdot \hat{\sigma })=\hat{\overrightarrow{A}}\cdot \hat{\overrightarrow{B}}+i\hat{\sigma }\cdot (\hat{\overrightarrow{A}}\times \hat{\overrightarrow{B}})$。(本题 30 分)

3. 三

　　 质量为 $m$ 的一维体系哈密顿量为 $H=p^2/2m+V(x)$，其中 $V(x)=V_0{x}^{2n}$，$V_0>0$ 是常数、$n$ 为自然数。设 ${\psi }_n(x)$ 为 $H$ 的本征函数：

　　 ① 证明动量算符在 ${\psi }_n(x)$) 态中的平均值为零；

　　 ② 求在态 ${\psi }_n(x)$ 中动能平均值和势能平均值之间的关系。(本题 30 分，每小题 15 分)

4. 四

　　 二维谐振子哈密顿量为 $H_0=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$，其中 $m$ 为质量，$\omega$ 为圆频 率。现该谐振子受到一外势 $V(x,y)=\lambda m{\omega }^{2}xy$ 作用，其中 $0<\lambda \ll 1$ 是无量纲的常数，试 求解该体系的基态能量与波函数。(若采用微扰论求解，能量、波函数分别要求精确到 二级、一级微扰。) (本题 30 分)

5. 五

　　 在 $t=0$ 时，氢原子的波函数 $\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},0)=\frac{1}{\sqrt{10}}[2{\psi }_{100}+{\psi }_{210}+\sqrt{2}{\psi }_{211}+\sqrt{3}{\psi }_{21-1}]$ 式中波函数的下标分别为量子数 $n,l,m$ 的值，忽略自旋和辐射跃迁。(本题 30 分，每小题 15 分)

　　 ① 该体系的能量期待值是多少？

　　 ② 在 $t$ 时刻体系处在 $l=1,m=1$ 态的几率是多少？