南京航空航天大学 2012 量子真题

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1. 简答题(本题 30 分，每小题 15 分)

　　 ①光电效应哪些现象是经典理论不能解释的?

　　 ②举一个实验说明微观粒子具有波粒二象性。

2. (本题 30 分，每小题 15 分)

　　 ① 写出氢原子的束缚态能级 $E_n$,、所有量子数以及这些量子数取值范围，并求能级 $E_n$ 简并度;

　　 ②若氢原子处于状态 $\psi(r, \theta, \varphi) = \frac{1}{2} R_{2,1}(r) Y_{1,0}(\theta, \varphi) - \frac{\sqrt{3}}{2} R_{2,1}(r) Y_{1,-1}(\theta, \varphi)$,问上述量子数，那些有确定值?那些没有?有确定值的给出其数值;没有确定值的给出其可能值以及出现几率，并求对应物理量平均值。

3. (本题 30 分)

　　 一维谐振子的哈密密顿量为 $$ H_0 = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} k x^2~$$，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用$$H' = \frac{1}{2} b x^2~$$，使用微扰论计算 $H'$ 对能量的一级修正，并与严格解比较。

4. (本题 30 分，每小题 15 分)

　　 如果算符 $\hat \alpha$、$\hat \beta$ 满足关系式 $\hat \beta-\hat \alpha=1$，求证:

　　 ①$\hat \alpha\hat \beta^2-\hat \beta^2\hat \alpha=2\hat \beta$

　　 ②$\hat \alpha\hat \beta^3-\hat \beta^3\hat \alpha=3\hat \beta^2$

5. (本题 30 分，每小题 15 分)

　　 一个质量为 $m$ 的粒子被限制在 $0 \leq x \leq a$ 的一维无限深势阱中，初始时刻其归一化波函数为 $$ \psi(x,0) = \sqrt{\\frac{8}{5a}} \left( 1 + \cos \frac{\pi x}{a} \right) \sin \frac{\pi x}{a} ~$$，求： ①$t>0$ 时粒子的状态波函数;

　　 ②在 $t=0$ 与 $1>0$ 时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少