南京航空航天大学 2007 量子真题

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　　 一、1.证明厄密算符的本征值为实数。10 分

　　 2.利用不确定度关系估算-维线性谐振子的基态能量,20 分

　　 二、一个质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 $(0\le x\le a)$ 中运动，$t=0$ 时刻的初态波函数为 $$\psi (x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos \frac{\pi x}{a})\sin \frac{\pi x}{a}(0\le x\le a)$$ (1)求后来的某--时刻 $t_0$ 的波函数;
(2)求在 $t=t_0$ 时刻的平均能量;
(3)求在 $t=t_0$ 时在势阱左半部($0\le x\le \frac{a}{2}$) 发现粒子的率。30 分

　　 三、粒子在一维无限深势阱 $(0,a)$ 中运动，受到微扰作用后, $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& 0<x,x>a\\ \\ \lambda \delta (x-\frac{a}{2})& 0\le x\le a\end{array}$$ 其中 $\lambda$ 为一个很小的正数,试求基态能量准确到 ${\lambda }^2$ 的修正值,以及 $\lambda$ 应当满足的条件。30 分

　　 四、证明正常寒曼效应(偶极跃迁)的选择定则为 $$\mathrm{\Delta }l=\pm 1,\mathrm{\Delta }m=0,\pm 1,\text{和}\mathrm{\Delta }s=0$$ 20 分

　　 五、(1)考虑自旋为 $\frac{1}{2}$ 的系统，求出算符 $A{S}_y+B{S}_z$ 的本征值及归一化的本征函数。其中 $S_y,S_z$ 是角动量算符，$A,B$ 是实常数、

　　 (2)假定系统处于该算特的一个本征态上，永测量 $S_y$、得到结果为 $\frac{h}{2}$ 的概率。20 分

　　 六、设两个电子在弹性有心力场中运动，每个电子的势能是 $U(r)=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2$。如果两个电子之间的库仑 $U(r)$ 相比可以忽略，求:当一个电子处在基态，另一个电子处于沿 x 方向运动的第一 激发态时，两电子的体系的波函数。 20 分