多区间二分法

             

预备知识 二分法

   这里介绍一种多区间二分法,可以求出连续函数在某区间内几乎全部的根.方法就是把这个区间等分为若干个相等的小区间,然后分别判断这些小区间两端函数值的符号,对所有两端异号的区间使用二分法即可.显然,小区间的个数越多,越有可能找到所有的根.例程如下.

代码 1:bisectionN.m
function roots = bisectionN(f, int, N)
x = linspace(int(1), int(2), N); % 划分区间
y = arrayfun(f, x); % 求所有 f(x(ii))
figure; plot(x, y, '.-') % 画图
title('f(x)')
Sign = sign(y);
ind = find(Sign(1:end-1) .* Sign(2:end) <= 0); % 找符合条件的区间序号
Nroot = numel(ind);
roots = zeros(1, Nroot); % 预赋值
for ii = 1:Nroot
    roots(ii) = fzero(f, [x(ind(ii)),x(ind(ii)+1)]);  
end
end

   函数的前两个输入变量分别是需要求根的函数句柄和求根区间(二元行矢量或列矢量),第三个变量 $N$ 是子区间端点的个数(即子区间的个数加一).函数中先求出所有的端点 x,以及对应的函数值 y,然后画图.第 6-7 行寻找所有两端异号或有一端为 0 的区间的序号,然后在第 10 行的循环中对这些区间逐个使用二分法.为了提高运算效率,这里并没有使用 “二分法” 中的例程,而是使用了 Matlab 自带的 fzero 函数.

   bisectionN 的画图功能是为了让用户判断是否有可能出现漏根,以下举两个例子说明.

>> f = @(x)exp(-0.2*x)*sin(x);
>> roots = bisectionN(f, [0, 15], 50)
roots = 0    3.1416    6.2832    9.4248   12.5664

图
图 1:运行结果

   运行结果如图 1 ,由于画出的曲线较为光滑,可判断漏根的可能性很小.再看另一个例子

>> f = @(x)sin(1/x);
>> roots = bisectionN(f, [0, 0.3], 50)
roots = 0.0245  0.0398  0.0455  0.0531  0.0637  0.0796  0.1061  0.1592

图
图 2:运行结果

   我们已经知道函数 $ \sin\left(1/x\right) $ 在该区间上有无数个根,且越接近 $x = 0$,相邻根之间的距离越小.运行结果如图 2 , 可见在区间 $[0, 0.1]$ 内,子区间端点的函数值非常不平滑,极有可能出现漏根.为了求得更多的根,我们可以增加子区间的个数.

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