LSZ约化公式(标量场)

                     

贡献者: _Eden_

入态和出态的构造

   定义 $\tilde{\phi}(p)$ 为海森堡场 $\phi(x)$ 的傅里叶分量。

\begin{equation} \begin{aligned} \tilde\phi(p)=\int d^4 {x} e^{-ipx} \phi(x) \end{aligned} \end{equation}
计算能量动量算符 $P^\mu$ 与它的对易子,可以得到

\begin{equation} \begin{aligned} [P^\mu, \tilde\phi(p)] &=\int d^4 {x} e^{-ipx} [P^\mu,\phi(x)]=-\int d^4 {x} e^{-ipx} i\partial^\mu \phi(x)\\ &=\int d^4 {x} \phi(x) i\partial^\mu e^{-ipx}=p^\mu \tilde\phi(p) \end{aligned} \end{equation}
这意味着 $P^\mu \tilde \phi(p) \left\lvert \Omega \right\rangle =p^\mu \tilde{\phi}(p) \left\lvert \Omega \right\rangle $,也就是说 $\tilde\phi (p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 要么是 $0$,要么是能动量本征值为 $p^\mu$ 的态。进一步可以证明,由该算符构造的态矢量所构成的集合中,$p^2$ 相同的态矢量之间由洛伦兹变换相联系。我们在讨论物理态的性质时,已经对物理态的能谱有一系列假定,例如单粒子态为场的最低能激发,其能动量满足质壳条件 $p^2=m^2$;多粒子态的能谱位于 $p^2\ge (2m)^2$ 这一连续区域;可能存在束缚态的能谱在位于 $m$ 到 $2m$ 之间孤立的双曲面上。这一系列假定意味着上面构造的 $\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 仅当 $p^2$ 满足一定条件时才是非 $0$ 的态。现在我们希望构造单粒子态,假定 $p^2$ 在 $m^2$ 附近,当 $p^2$ 恰好等于 $m^2$ 时 $\tilde{\phi}(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 才不为零。将它与单粒子态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 作内积: \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =\int d^4 {x} e^{-ikx} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(x) \left\lvert \Omega \right\rangle \] 利用 $\phi(x)=e^{iPx}\phi(0)e^{-iPx}$ 和 $U\phi(0)U^{-1}=\phi(0)$(其中 $U$ 是洛伦兹变换,$U^\dagger U=1,U | \boldsymbol{\mathbf{k}} \rangle = | \boldsymbol{\mathbf{k}} '\rangle$),可以得到
\begin{equation}\begin{aligned} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(x) \left\lvert \Omega \right\rangle &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert e^{iP\cdot x}\phi(0) e^{-i P\cdot x} \left\lvert \Omega \right\rangle = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(0) \left\lvert \Omega \right\rangle e^{ik\cdot x}|_{k^0=E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }} \\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert U^\dagger U\phi(0)U^\dagger U \left\lvert \Omega \right\rangle e^{ik\cdot x}|_{k^0=E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rvert \phi(0) \left\lvert \Omega \right\rangle e^{ik\cdot x}|_{k^0=E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }} \end{aligned}\end{equation}
代入 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $,可以得到 \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =(2\pi)^4\delta(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \sqrt{Z} \] 其中 $\sqrt{Z}= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rvert \phi(0) \left\lvert \Omega \right\rangle $,由洛伦兹变换,当 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle $ 取任意单粒子态时它都是常数。可以调整单粒子态的相因子来使 $\sqrt{Z}$ 为正实数。将上式写成洛伦兹协变的形式: \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =(2\pi)^4 \sqrt{Z} (2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\delta(p^2-m^2)\theta(p^0) \delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \] 因此当 $p^\mu$ 满足单粒子态的在壳条件 $p^2=m^2,p^0 > 0$ 时,$\tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 一定正比于 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle $。具体地,可以由物理态的完备关系得到
\begin{equation}\begin{aligned} \tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =&|\Omega\rangle \langle \Omega|\tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle + \sum_{\lambda}\int \frac{d^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} }{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }(\lambda)}|\lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle \langle \lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|\tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle \\ \overset{p^2\approx m^2}{=}&(2\pi)^4 \delta^4(p) \left\lvert \Omega \right\rangle \left\langle \Omega \right\rvert \phi(0) \left\lvert \Omega \right\rangle + \int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle \\ =&\eta(2\pi)^4\delta^4(p) \left\lvert \Omega \right\rangle +2\pi \sqrt{Z} \delta(p^2-m^2)\theta(p^0) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle \end{aligned}\end{equation}

   现在我们希望构造一系列算符 $C_\alpha$ 来构造入态的产生算符。具体地,我们希望一个 $n$ 粒子的入态 $ \left\lvert \psi^+ \right\rangle $ 可以写成 $C_1C_2\cdots C_n \left\lvert \Omega \right\rangle $,出态 $ \left\lvert \psi^- \right\rangle $ 可以写成 $D_1D_2\cdots D_n \left\lvert \Omega \right\rangle $。以入态为例,算符 $C_\alpha$ 是由 $\tilde \phi(k)$ 调制而成的波包,它作用于真空态产生动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 的单粒子态。 \[ C_\alpha=\int d^4 {x_\alpha} u_\alpha(x_\alpha)\phi(x_\alpha) = \int \frac{d^4 l}{(2\pi)^4} \tilde{u}_\alpha(-l)\tilde\phi(l) \] $\tilde{u}_\alpha(-l)$ 为波包的调制函数,在 $l=(+E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha}, \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha)$ 的一个小邻域内非零。注意到 $(\tilde{\phi}(l))^\dagger=\tilde{\phi}(-l)$,因此 $C_\alpha^\dagger$ 的作用则是湮灭单粒子态。考虑用 $u_\alpha(x_\alpha)=F(x_\alpha)g(t_\alpha-T)$ 形式的调制函数来构造入态和出态,$g(t)$ 随 $|t|$ 增大而衰减,我们约定它的宽度远大于 $m^{-1}$,相应的其傅里叶变换 $\tilde g(\omega)$ 是 $\omega=0$ 附近宽度远小于 $m$ 的一个尖峰。$F(x)$ 是具有以下形式的相对论性波函数: \[ F(x)=\int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{l}} }}{(2\pi)^3} f( \boldsymbol{\mathbf{l}} ) e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }t+i \boldsymbol{\mathbf{l}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } \] 在物理意义上,入态是指在无穷远过去互相分离的波包,那么我们将算符定义在负无穷时刻,即 $g(t-T_-)$ 在 $t\approx T_-\rightarrow -\infty$ 处非零;出态是在无穷远未来互相分离的波包,那么 $g(t-T_+)$ 在 $t\approx T_+\rightarrow +\infty$ 处非零。约定 $T_+,T_-$ 远大于 $g(t)$ 的宽度。现在考虑波包调制函数的傅里叶分量 $\tilde{u}_\alpha(-l)$:

\begin{equation}\begin{aligned} \int d^4 {x}F(x)g(t-T)e^{ilx}&=\int \,\mathrm{d}{t} d^3 {x} e^{il^0t - i \boldsymbol{\mathbf{l}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }\int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3}f( \boldsymbol{\mathbf{p}} )e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }t+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }\int \frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2\pi}\tilde g(\nu) e^{-i\nu(t-T)}\\ &=\int \frac{d^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} }{(2\pi)^3}\frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2\pi} f( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\tilde g(\nu) (2\pi)^3 \delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{l}} ) 2\pi \delta(l^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }-\nu)e^{i\nu T}\\ &=f( \boldsymbol{\mathbf{l}} ) \tilde g(l^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} })e^{i(l^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} })T} \end{aligned}\end{equation}
由此可以看到,$g(t)$ 的宽度远大于 $m^{-1}$ 导致了当 $l^0$ 在 $\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }$ 附近上式才不为零,由此构造的算符 $C_\alpha$ 或 $D_\alpha$ 不会贡献多粒子态和真空态。算符 $C_\alpha$ 或 $D_\alpha$ 作用到真空态后,只有当 $l$ 满足在壳条件,即 $l^0=\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }$ 时,$\tilde{u}_\alpha(-l)\tilde \phi(l) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 才会贡献对单粒子态的分量有贡献。最终该算符作用于真空态得到的就是,能壳 $p^2=m^2$ 上 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 附近所对应的单粒子态的光滑叠加。此外,对于不同的产生算符,我们可以假定其动量 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 互不相同,那么不同的波包在无穷远过去(或未来)空间距离间隔很远,因此不同的 $C_\alpha$(或不同的 $D_\alpha$)彼此对易,产生的单粒子态是互相独立的。由于这样我们就通过构造波包得到了入态和出态。
\begin{equation}\begin{aligned} &C_\alpha=\int d^4 {x_\alpha} u_\alpha(x_\alpha)\phi(x_\alpha)=g(t_\alpha-T_-)\int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3} f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }t_\alpha+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _\alpha},\ T_-\rightarrow -\infty\\ &D_\alpha=\int d^4 {x'_\alpha} u'_\alpha(x'_\alpha)\phi(x'_\alpha)=g(t'_\alpha-T_+)\int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3} f'_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }t'_\alpha+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} '_\alpha},\ T_+\rightarrow +\infty\\ & \left\lvert \psi^+ \right\rangle =C_1C_2\cdots C_n \left\lvert \Omega \right\rangle ,\ \left\lvert \psi^- \right\rangle =D_1D_2\cdots D_{n'} \left\lvert \Omega \right\rangle \\ \end{aligned}\end{equation}

LSZ 约化公式

   S 矩阵被定义为入态和出态的内积,因此可以用 $C_\alpha,D_\alpha$ 表示为

\begin{equation} \begin{aligned} \langle\psi^-|\psi^+\rangle=\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '_1 \cdots \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{n'}|S| \boldsymbol{\mathbf{k}} _1\cdots \boldsymbol{\mathbf{k}} _n\rangle= \left\langle \Omega \right\rvert T D_1^\dagger \cdots D_{n'}^\dagger C_1\cdots C_n \left\lvert \Omega \right\rangle \end{aligned}\end{equation}
上面插入了编时算符 $T$ 不改变表达式,因为 $D_\alpha$ 出现在无穷远未来而 $C_\alpha$ 出现在无穷远过去。定义两组新的算符 $\bar C_\alpha$ 和 $\bar D_\alpha$:
\begin{equation} \begin{aligned} &\bar C_\alpha=g(t_\alpha-T_+)\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3} f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }t_\alpha+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _\alpha},\ T_-\rightarrow -\infty\\ &\bar D_\alpha=g(t'_\alpha-T_-)\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3} f'_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }t'_\alpha+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} '_\alpha},\ T_+\rightarrow +\infty \end{aligned}\end{equation}
如果将 式 7 中的某个 $C_\alpha$ 替换为 $\bar{C}_\alpha$,那么在编时算符的作用下它被移到最左侧,于是湮灭 $ \left\langle \Omega \right\rvert $。如果将某个 $D_\alpha^\dagger$ 替换为 $\bar{D}_\alpha^\dagger$,则它被移到最右侧后湮灭 $ \left\lvert 0 \right\rangle $。因此可以将 式 7 改写为 \[ \left\langle \Omega \right\rvert T (D_1^\dagger-\bar{D}_1^\dagger) \cdots (D_n^\dagger-\bar{D}_n^\dagger) (C_1-\bar{C}_1)\cdots (C_n-\bar{C}_n) \left\lvert \Omega \right\rangle \] 算符 $C_\alpha$ 与 $\bar{C}_\alpha$ 的波包调制函数,其 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 分量是完全相同的。对于在壳的 $l$,两个波包调制函数的在壳傅里叶分量 $\tilde{u}_\alpha(-l)$ 是相同的。对于自由标量场论来说,满足自由 Klein-Gordon 方程的场算符只有在壳的傅里叶分量,那么 $C_\alpha$ 和 $\bar{C}_\alpha$ 将没有差别。这意味着两个算符 $C_\alpha$ 与 $\bar{C}_\alpha$ 的差别来自于理论的相互作用,可以对它作具体的计算:
\begin{equation} \begin{aligned} &C_\alpha-\bar{C}_\alpha=\int d^4 x\left[g\left(t-T_{-}\right)-g\left(t-T_{+}\right)\right] \int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3} f_\alpha(\mathbf{p}) e^{-i \omega_{\mathbf{p}} t+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } \phi(x)\\ &=\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3} \frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2 \pi} f_\alpha(\mathbf{p}) \tilde{g}(\nu) \int d^4 x\left[e^{-i \nu\left(t-T_{-}\right)}-e^{-i \nu\left(t-T_{+}\right)}\right] e^{-i \omega_{\mathrm{p}} t+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } \phi(x)\\ &=\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3} \frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2 \pi} f_\alpha(\mathbf{p}) \tilde{g}(\nu) \frac{\left(e^{i \nu T_{-}}-e^{i \nu T_{+}}\right)}{m^2-\left(\omega_{\mathbf{p}}+\nu\right)^2+|\mathbf{p}|^2} \int d^4 x\left[\left(m^2+\partial^2\right) e^{-i\left(\omega_{\mathbf{p}}+\nu\right) t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \phi(x)\\ &=\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3} \frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2 \pi} f_\alpha(\mathbf{p}) \tilde{g}(\nu) \frac{\left(e^{i \nu T_{-}}-e^{i\nu T_{+}}\right)}{-2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\nu - \nu^2} \int d^4 x e^{-i\left(\omega_{\mathbf{p}}+\nu\right) t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\left[\left(m^2+\partial^2\right) \phi(x)\right]\\ &=\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3} \frac{ \,\mathrm{d}{\nu} }{2 \pi} f_\alpha(\mathbf{p}) \tilde{g}(\nu) \frac{2 \pi i \delta(\nu)}{2 \omega_{\mathbf{p}}} \int d^4 x e^{-i\left(\omega_{\mathbf{p}}+\nu\right) t+i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }\left[\left(m^2+\partial^2\right) \phi(x)\right]\\ &=i \int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3 2 \omega_{\mathbf{p}}} f_\alpha(\mathbf{p}) \int d^4 x e^{-ipx}\left[\left(m^2+\partial^2\right) \phi(x)\right] \end{aligned}\end{equation}
其中第四行到第五行的推导利用了 $\tilde{g}(\nu)$ 宽度远小于 $m$ 的性质将分母中的 $\nu^2$ 当作无穷小量略去,当 $T_+\rightarrow +\infty,T_-\rightarrow -\infty$ 时 $(e^{i\nu T_-}-e^{i\nu T_+})/(-\nu)$ 可以改写为 $2\pi i\delta(\nu)$。在最后一步中我们取定了 $\tilde g(0)=\int \,\mathrm{d}{t} g(t)=1$,如果它不为 $1$,我们可以将系数吸收进 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 中。用类似的方法可以计算 $D_\alpha^\dagger-\bar{D}_\alpha^\dagger$。 \[ D_\alpha^\dagger-\bar{D}_\alpha^\dagger=i \int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3 2 \omega_{\mathbf{p}}} f'^{*}_\alpha(\mathbf{p}) \int d^4 x e^{ipx}\left[\left(m^2+\partial^2\right) \phi(x)\right] \] 现在离 LSZ 约化公式的导出只差一步之遥。S-矩阵依赖于归一化的选择,也就依赖于 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 和 $f'\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$,因此我们需要对 $C_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 和 $D_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 进行适当的归一化。利用 式 4 式 5 以及 $\tilde g(0)=1$,可以得到:
\begin{equation} \begin{aligned} C_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle &=\int \frac{d^4 {l}}{(2\pi)^4} \tilde{u}_\alpha(-l)\tilde{\phi}(l) \left\lvert \Omega \right\rangle \\ &=\sqrt{Z}\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3 2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} \left.\tilde{u}_\alpha(-p) \right|_{p^0=\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle \\ &=\sqrt{Z}\int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2\pi)^3 2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle \end{aligned}\end{equation}
$D_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 也是类似的。为了使这些构造的入态和出态具有和物理态一样的归一化条件,可以约定
\begin{equation} \begin{aligned} &f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )=Z^{-1/2}(2\pi)^3 2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha)\\ &f'_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )=Z^{-1/2}(2\pi)^3 2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} '_\alpha) \end{aligned}\end{equation}
那么由 $C_\alpha,D_\alpha$ 构造的入态和出态就是
\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert \psi^+ \right\rangle &=C_1 \cdots C_n|\Omega\rangle=\left|\mathbf{k}_1, \cdots, \mathbf{k}_n\right\rangle_{\text {in }} \\ \left\lvert \psi^- \right\rangle &=D_1 \cdots D_{n'}|\Omega\rangle=\left|\mathbf{k}_1^{\prime}, \cdots, \mathbf{k}_{n'}^{\prime}\right\rangle_{\text {out }} \end{aligned}\end{equation}
最终我们得到 LSZ 约化公式:
\begin{equation} \begin{aligned} \langle\psi^-|\psi^+\rangle&=\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '_1 \cdots \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{n'}|S| \boldsymbol{\mathbf{k}} _1\cdots \boldsymbol{\mathbf{k}} _n\rangle= i^{n+n'} Z^{-\left(n+n'\right) / 2} \prod_{i=1}^{n'}\int d^4 {x_i'} e^{i k_i' x_i'}\left(m^2+\partial_{x_i'}^2\right) \\ & \prod_{j=1}^n\int d^4 x_j e^{-i k_j x_j}\left(m^2+\partial_{x_j}^2\right) \left\langle \Omega\left|T \phi\left(x_1'\right) \cdots \phi\left(x_n'\right) \phi\left(x_{1}\right) \cdots \phi\left(x_{n}\right)\right| 0\right\rangle \end{aligned}\end{equation}


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