LSZ约化公式（标量场）

                     

贡献者： _Eden_

入态和出态的构造

　　 定义 $\tilde{\varphi }(p)$ 为海森堡场 $\varphi (x)$ 的傅里叶分量。

计算能量动量算符 $P^{\mu }$ 与它的对易子，可以得到

这意味着 $P^{\mu }\tilde{\varphi }(p)|\mathrm{\Omega }⟩=p^{\mu }\tilde{\varphi }(p)|\mathrm{\Omega }⟩$，也就是说 $\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩$ 要么是 $0$，要么是能动量本征值为 $p^{\mu }$ 的态。进一步可以证明，由该算符构造的态矢量所构成的集合中，$p^2$ 相同的态矢量之间由洛伦兹变换相联系。我们在讨论物理态的性质时，已经对物理态的能谱有一系列假定，例如单粒子态为场的最低能激发，其能动量满足质壳条件 $p^2=m^2$；多粒子态的能谱位于 $p^2\ge (2m{)}^2$ 这一连续区域；可能存在束缚态的能谱在位于 $m$ 到 $2m$ 之间孤立的双曲面上。这一系列假定意味着上面构造的 $\varphi (p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩$ 仅当 $p^2$ 满足一定条件时才是非 $0$ 的态。现在我们希望构造单粒子态，假定 $p^2$ 在 $m^2$ 附近，当 $p^2$ 恰好等于 $m^2$ 时 $\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩$ 才不为零。将它与单粒子态 $|\mathbf{k}⟩$ 作内积： $$⟨\mathbf{k}|\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩=\int d^{4}x{e}^{-ikx}⟨\mathbf{k}|\varphi (x)|\mathrm{\Omega }⟩.$$ 利用 $\varphi (x)=e^{iPx}\varphi (0)e^{-iPx}$ 和 $U\varphi (0)U^{-1}=\varphi (0)$（其中 $U$ 是洛伦兹变换，$U^{†}U=1,U|\mathbf{k}⟩=|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩$），可以得到 代入 $⟨\mathbf{k}|\varphi (p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩$，可以得到 $$⟨\mathbf{p}|\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩=(2\pi {)}^4\delta (p^0-E_{\mathbf{k}})\delta (\mathbf{p}-\mathbf{k})\sqrt{Z}.$$ 其中 $\sqrt{Z}=⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|\varphi (0)|\mathrm{\Omega }⟩$，由洛伦兹变换，当 $|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩$ 取任意单粒子态时它都是常数。可以调整单粒子态的相因子来使 $\sqrt{Z}$ 为正实数。将上式写成洛伦兹协变的形式： $$⟨\mathbf{k}|\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩=(2\pi {)}^4\sqrt{Z}(2E_{\mathbf{k}})\delta (p^2-m^2)\theta (p^0)\delta (\mathbf{p}-\mathbf{k}).$$ 因此当 $p^{\mu }$ 满足单粒子态的在壳条件 $p^2=m^2,p^0>0$ 时，$\tilde{\varphi }(p^{\mu })|\mathrm{\Omega }⟩$ 一定正比于 $|\mathbf{p}⟩$。具体地，可以由物理态的完备关系得到

　　 现在我们希望构造一系列算符 $C_{\alpha }$ 来构造入态的产生算符。具体地，我们希望一个 $n$ 粒子的入态 $|{\psi }^{+}⟩$ 可以写成 $C_1{C}_2\cdots C_n|\mathrm{\Omega }⟩$，出态 $|{\psi }^{-}⟩$ 可以写成 $D_1{D}_2\cdots D_n|\mathrm{\Omega }⟩$。以入态为例，算符 $C_{\alpha }$ 是由 $\tilde{\varphi }(k)$ 调制而成的波包，它作用于真空态产生动量为 ${\mathbf{k}}_{\alpha }$ 的单粒子态。 $$C_{\alpha }=\int d^4{x}_{\alpha }{u}_{\alpha }(x_{\alpha })\varphi (x_{\alpha })=\int \frac{d^{4}l}{(2\pi {)}^4}{\tilde{u}}_{\alpha }(-l)\tilde{\varphi }(l).$$ ${\tilde{u}}_{\alpha }(-l)$ 为波包的调制函数，在 $l=(+E_{{\mathbf{k}}_{\alpha }},{\mathbf{k}}_{\alpha })$ 的一个小邻域内非零。注意到 $(\tilde{\varphi }(l){)}^{†}=\tilde{\varphi }(-l)$，因此 $C_{\alpha }^{†}$ 的作用则是湮灭单粒子态。考虑用 $u_{\alpha }(x_{\alpha })=F(x_{\alpha })g(t_{\alpha }-T)$ 形式的调制函数来构造入态和出态，$g(t)$ 随 $|t|$ 增大而衰减，我们约定它的宽度远大于 $m^{-1}$，相应的其傅里叶变换 $\tilde{g}(\omega )$ 是 $\omega =0$ 附近宽度远小于 $m$ 的一个尖峰。$F(x)$ 是具有以下形式的相对论性波函数： $$F(x)=\int \frac{d^3\mathbf{l}}{(2\pi {)}^3}f(\mathbf{l})e^{-i{\omega }_{\mathbf{l}}t+i\mathbf{l}\cdot \mathbf{x}}.$$ 在物理意义上，入态是指在无穷远过去互相分离的波包，那么我们将算符定义在负无穷时刻，即 $g(t-T_{-})$ 在 $t\approx T_{-}\to -\mathrm{\infty }$ 处非零；出态是在无穷远未来互相分离的波包，那么 $g(t-T_{+})$ 在 $t\approx T_{+}\to +\mathrm{\infty }$ 处非零。约定 $T_{+},T_{-}$ 远大于 $g(t)$ 的宽度。现在考虑波包调制函数的傅里叶分量 ${\tilde{u}}_{\alpha }(-l)$：

由此可以看到，$g(t)$ 的宽度远大于 $m^{-1}$ 导致了当 $l^0$ 在 ${\omega }_{\mathbf{l}}$ 附近上式才不为零，由此构造的算符 $C_{\alpha }$ 或 $D_{\alpha }$ 不会贡献多粒子态和真空态。算符 $C_{\alpha }$ 或 $D_{\alpha }$ 作用到真空态后，只有当 $l$ 满足在壳条件，即 $l^0={\omega }_{\mathbf{l}}$ 时，${\tilde{u}}_{\alpha }(-l)\tilde{\varphi }(l)|\mathrm{\Omega }⟩$ 才会贡献对单粒子态的分量有贡献。最终该算符作用于真空态得到的就是，能壳 $p^2=m^2$ 上 ${\mathbf{k}}_{\alpha }$ 附近所对应的单粒子态的光滑叠加。此外，对于不同的产生算符，我们可以假定其动量 ${\mathbf{k}}_{\alpha }$ 互不相同，那么不同的波包在无穷远过去（或未来）空间距离间隔很远，因此不同的 $C_{\alpha }$（或不同的 $D_{\alpha }$）彼此对易，产生的单粒子态是互相独立的。由于这样我们就通过构造波包得到了入态和出态。

LSZ 约化公式

　　 S 矩阵被定义为入态和出态的内积，因此可以用 $C_{\alpha },D_{\alpha }$ 表示为

上面插入了编时算符 $T$ 不改变表达式，因为 $D_{\alpha }$ 出现在无穷远未来而 $C_{\alpha }$ 出现在无穷远过去。定义两组新的算符 ${\overline{C}}_{\alpha }$ 和 ${\overline{D}}_{\alpha }$： 如果将 式 7 中的某个 $C_{\alpha }$ 替换为 ${\overline{C}}_{\alpha }$，那么在编时算符的作用下它被移到最左侧，于是湮灭 $⟨\mathrm{\Omega }|$。如果将某个 $D_{\alpha }^{†}$ 替换为 ${\overline{D}}_{\alpha }^{†}$，则它被移到最右侧后湮灭 $|0⟩$。因此可以将 式 7 改写为 $$⟨\mathrm{\Omega }|T(D_1^{†}-{\overline{D}}_1^{†})\cdots (D_n^{†}-{\overline{D}}_n^{†})(C_1-{\overline{C}}_1)\cdots (C_n-{\overline{C}}_n)|\mathrm{\Omega }⟩.$$ 算符 $C_{\alpha }$ 与 ${\overline{C}}_{\alpha }$ 的波包调制函数，其 $f_{\alpha }(\mathbf{p})$ 分量是完全相同的。对于在壳的 $l$，两个波包调制函数的在壳傅里叶分量 ${\tilde{u}}_{\alpha }(-l)$ 是相同的。对于自由标量场论来说，满足自由 Klein-Gordon 方程的场算符只有在壳的傅里叶分量，那么 $C_{\alpha }$ 和 ${\overline{C}}_{\alpha }$ 将没有差别。这意味着两个算符 $C_{\alpha }$ 与 ${\overline{C}}_{\alpha }$ 的差别来自于理论的相互作用，可以对它作具体的计算： 其中第四行到第五行的推导利用了 $\tilde{g}(\nu )$ 宽度远小于 $m$ 的性质将分母中的 ${\nu }^2$ 当作无穷小量略去，当 $T_{+}\to +\mathrm{\infty },T_{-}\to -\mathrm{\infty }$ 时 $(e^{i\nu T_{-}}-e^{i\nu T_{+}})/(-\nu )$ 可以改写为 $2\pi i\delta (\nu )$。在最后一步中我们取定了 $\tilde{g}(0)=\int \mathrm{d}tg(t)=1$，如果它不为 $1$，我们可以将系数吸收进 $f_{\alpha }(\mathbf{p})$ 中。用类似的方法可以计算 $D_{\alpha }^{†}-{\overline{D}}_{\alpha }^{†}$。 $$D_{\alpha }^{†}-{\overline{D}}_{\alpha }^{†}=i\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathbf{p}}}{f}_{\alpha }^{\prime \ast }(\mathbf{p})\int d^{4}x{e}^{ipx}[(m^2+{\partial }^2)\varphi (x)],$$ 现在离 LSZ 约化公式的导出只差一步之遥。S-矩阵依赖于归一化的选择，也就依赖于 $f_{\alpha }(\mathbf{p})$ 和 $f^{\prime }\alpha (\mathbf{p})$，因此我们需要对 $C_{\alpha }|\mathrm{\Omega }⟩$ 和 $D_{\alpha }|\mathrm{\Omega }⟩$ 进行适当的归一化。利用 式 4 和 式 5 以及 $\tilde{g}(0)=1$，可以得到： $D_{\alpha }|\mathrm{\Omega }⟩$ 也是类似的。为了使这些构造的入态和出态具有和物理态一样的归一化条件，可以约定 那么由 $C_{\alpha },D_{\alpha }$ 构造的入态和出态就是 最终我们得到 LSZ 约化公式：