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在数学中，柯西积分定理（也称为柯西–古尔萨定理）是复分析中的一个重要结论，以 奥古斯丁–路易·柯西（和爱德华·古尔萨的名字命名。该定理描述了复平面上全纯函数的路径积分性质。其核心内容是：如果函数 $f(z)$ 在一个单连通域 $\Omega$ 内是全纯的，那么对于 $\Omega$ 内的任何闭合路径 $C$，沿着该路径的积分都为零： $$ \int_{C} f(z)\, dz = 0.~ $$
如果函数 $f(z)$ 在某个开区域 $U$ 上是全纯函数，且曲线 $\gamma$ 位于该区域内，从点 $z_0$ 延伸到点 $z_1$，则有： $$ \int_{\gamma} f'(z)\,dz = f(z_1) - f(z_0).~ $$ 此外，如果 $f(z)$ 在开区域 $U$ 内存在一个单值原函数，那么在该区域内，路径积分 $\int_{\gamma} f(z)\,dz$ 对于所有路径来说都是路径无关的。
在单连通区域上的表述
设 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个单连通开集，并且 $f: U \to \mathbb{C}$ 是一个全纯函数。如果 $\gamma: [a, b] \to U$ 是一条光滑的闭曲线，则有： $$ \int_{\gamma} f(z)\,dz = 0.~ $$ 其中，$U$ 是单连通集意味着它没有 “洞”，换句话说，$U$ 的基本群是平凡的。
一般形式
设 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个开集，且 $f: U \to \mathbb{C}$ 是一个全纯函数。如果 $\gamma: [a, b] \to U$ 是一条光滑的闭曲线，并且 $\gamma$ 同伦于一条常值曲线，则有： $$ \int_{\gamma} f(z)\,dz = 0,~ $$ 其中 $z \in U$。
一条曲线如果能通过在 $U$ 内的平滑同伦逐渐收缩到某一点（即常值曲线），则称这条曲线同伦于常值曲线。直观地说，这意味着可以在不离开区域 $U$ 的情况下，把闭合曲线 “缩成一个点”。第一种表述是这一一般情况的特殊情形，因为在单连通区域中，任意闭曲线都可以同伦收缩为一点。
主要示例
在两种情形下，都需要注意：曲线 $\gamma$ 不能环绕定义域中的 “洞”，否则该定理不再适用。一个著名的例子如下： $$ \gamma(t) = e^{it}, \quad t \in [0, 2\pi],~ $$ 这条曲线描绘的是单位圆。
在这种情况下，积分： $$ \int_{\gamma} \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i \neq 0~ $$ 结果不为零。这是因为在此情形下，函数：$f(z) = 1/z$ 在 $z = 0$ 没有定义。直观地看，曲线 $\gamma$ 围绕了定义域中的一个 “洞”，因此无法在不离开区域的情况下把曲线缩成一个点。因此，柯西积分定理在该情形下不适用。
正如爱德华·古尔萨所示，柯西积分定理只需要假设函数 $f'(z)$ 在区域 $U$ 内处处存在即可成立。这一点非常重要，因为这意味着可以进一步证明这些函数满足柯西积分公式，并由此推导出这些函数是无限可微的。
条件 $U$ 是单连通区域意味着该区域内没有 “洞”；从同伦的角度来看，这意味着 $U$ 的基本群是平凡的。例如，对于任意 $z_0 \in \mathbb{C}$，开圆盘 $U_{z_0} = \{z : |z - z_0| < r \}$ 都满足单连通的条件。
这个条件非常关键。考虑以下情形： $$ \gamma(t) = e^{it}, \quad t \in [0, 2\pi],~ $$ 这条曲线描绘的是单位圆。对应的路径积分为： $$ \oint_{\gamma} \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} \big(i e^{it} dt\big) = \int_0^{2\pi} i\, dt = 2\pi i.~ $$ 结果不为零。这是因为：$f(z) = 1/z$ 在 $z = 0$ 没有定义（并且当然也不是全纯的）。因此，柯西积分定理在该情形下不适用。
该定理的一个重要推论是：在单连通区域内，全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方式来计算。设 $U$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 中的一个单连通开子集，函数 $f: U \to \mathbb{C}$ 在 $U$ 上是全纯的，$\gamma$ 是 $U$ 中一条分段连续可微的路径，起点为 $a$，终点为 $b$。如果 $F$ 是 $f$ 的一个复原函数（复反导函数），那么有： $$ \int_{\gamma} f(z)\,dz = F(b) - F(a).~ $$ 柯西积分定理在比上述更弱的假设下同样成立。例如，如果 $U$ 是复平面中的一个单连通开子集，则只需假设：$f$ 在 $U$ 内全纯，且在闭包 $\overline{U}$ 上连续，并且 $\gamma$ 是 $\overline{U}$ 内一条可求长的简单闭曲线，该定理依然成立 $1$。
柯西积分定理是推导柯西积分公式以及留数定理的重要基础。
如果假设一个全纯函数的偏导数是连续的，那么柯西积分定理可以直接由格林公式推导出来。这是因为函数 $f = u + iv$ 的实部 $u$ 和虚部 $v$ 在曲线 $\gamma$ 所围成的区域内（以及该区域的开邻域 $U$ 中）必须满足柯西–黎曼方程。柯西最早给出了这种证明方法，但后来古尔萨在不使用向量分析技术、也不要求偏导数连续的条件下，提供了一个更为一般的证明。
我们可以将被积函数 $f$ 和微分 $dz$ 拆分为实部和虚部： $$ f = u + iv~ $$ $$ dz = dx + i\,dy~ $$ 在这种情况下，沿闭曲线 $\gamma$ 的积分为： $$ \oint_{\gamma} f(z)\,dz = \oint_{\gamma} (u + iv)(dx + i\,dy) = \oint_{\gamma} (u\,dx - v\,dy) + i \oint_{\gamma} (v\,dx + u\,dy)~ $$ 根据格林公式，可以将沿闭合曲线 $\gamma$ 的积分，转化为其所围平面区域 $D$ 内的面积积分： $$ \oint_{\gamma} (u\,dx - v\,dy) = \iint_{D} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) dx\,dy~ $$ $$ \oint_{\gamma} (v\,dx + u\,dy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) dx\,dy~ $$ 然而，在区域 $D$ 内，函数 $f(z) = u + iv$ 是全纯函数，其实部 $u$ 和虚部 $v$ 必须满足柯西–黎曼方程： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},~ $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.~ $$ 可以发现，这两个面积积分（以及它们对应的路径积分）都为零： $$ \iint_{D} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) dx\,dy = 0~ $$ $$ \iint_{D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial x} \right) dx\,dy = 0~ $$ 最终得到所需结论：$\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 0$
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