幂零线性变换的 Jordan（若尔当）标准形

贡献者：叶月2_

　　尽管复数域可以保证 $n$ 阶矩阵的特征多项式都有 $n$ 个解，但因为原则上几何重数可以小于代数重数，所以不是所有矩阵都有 $n$ 个线性无关的特征向量从而可以对角化。为了简化问题，我们需要 “简化” 矩阵（找一组基，使得矩阵在该基下有比较简单且规律的形式，比较多 $0$ ）。定理 3 保证我们线性变换都有分块对角矩阵的形式。与之比较，“Jordan 标准形” 是更加简化的形式。为拓展至任意线性变换，本节先从较为简单的幂零线性变换入手。

1. 循环子空间

　　设矩阵 $B$ 为线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即对于任意非零向量 $x$ ，总存在非负整数 $k$ 使得 $B^{k} (x) = 0$ 且 $B^{k - 1} (x) \neq 0$ 。可以证明， ${x, B x, B^{2} x, . . . B^{k - 1} x}$ 线性无关。

习题 1　

　　证明： $Span {x, B x, B^{2} x, . . . B^{k - 1} x}$ 张成线性空间，并证明这是 $B$ 的不变子空间。

　　设 $W = Span {x, B x, B^{2} x, . . . B^{k - 1} x}$ ，将幂零变换 $B$ 限制在该不变子空间上，记为 $B |_{W}$ 。则每一列可表示为： $(B x, B^{2} x, . . . B^{k - 1} x, B^{k} x)$ ，即：

\begin{matrix} (1) & (\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array}) . \end{matrix}

　　假设该子空间为 4 维。输入 $x = (1 0 0 0)^{T}$ ，得到 $B x = (0 1 0 0)^{T}$ 。输入 $B x = (0 1 0 0)^{T}$ ，得到 $B^{2} x = (0 0 1 0)^{T}$ 。显然， $B$ 可以对基进行循环，因此把这种形式的基向量组 $Span {x, B x, B^{2} x, . . . B^{k - 1} x}$ 称为循环基（cyclic basis）， $W$ 为 $B$ 的循环子空间（cyclic subspace）。

　　称形如式 1 的矩阵为Jordan（若当）块，由若当块直和而成的矩阵为 Jordan(若当)形矩阵。本节的主要目的便是证明：复数域上的幂零变换总可以表示为 Jordan 矩阵。下面的讨论默认在复数域上。

2. 幂零变换的循环子空间分解

预备知识　不变子空间

　　由于 Jordan 表示是分块对角矩阵，对角块（Joradan 块）是循环子空间，则 $B$ 有 Jordan 形表示等价于 $V$ 可分解为 $B$ 的循环子空间之直和。因此我们需要证明：

定理 1　

　　若 $B$ 是 $V$ 上的幂零线性变换，则 $V$ 总可以分解为 $B$ 的循环子空间之直和。

　　 Proof.

　　用归纳法证明¹。当线性空间维度为 1 时，由 $B$ 的定义可知定理显然成立。现设定理对维度小于 $n$ 时成立，设 $\dim V = n$ ，需要利用该假设证明定理在此维度下成立。

　　由于 $B$ 可以在 $Im B$ 上分解为循环子空间的直和，即：

\begin{matrix} (2) & Im B = W_{1} \oplus W_{2} \oplus . . . \oplus W_{k}, \end{matrix}

　　令 $W_{i} = Span {x_{i}, B (x_{i}), B^{2} (x_{i}) . . . B^{l_{i} - 1} (x_{i})}$ ，有 $B^{l_{i}} |_{W_{i}} = 0, i = 1, 2. . . k$ 。由于 $B^{l_{i} - 1} (x_{i}) \in \ker B$ ，因此可以扩充 ${B^{l_{i} - 1} (x_{i})}_{i = 1}^{k}$ 至 $\ker B$ 的一组基：

\begin{matrix} (3) & \ker B = Span {v}_{i = 1}^{m} \cup {B^{l_{i} - 1} (x_{i})}_{i = 1}^{k}, \end{matrix}

　　接下来我们证明：

\begin{matrix} (4) & V = ⨁_{i = 1}^{m} Span v_{i} \oplus W_{1} \oplus W_{2} \oplus . . . \oplus W_{n}, \end{matrix}

证明分两步，一是证明基矢组

{v}_{i = 1}^{m} \cup {x_{i}, B (x_{i}), B^{2} (x_{i}) . . . B^{l_{i} - 1} (x_{i})}_{i = 1}^{k}

线性无关，其次是张成

V

。

　　设 ${a_{i}}_{i = 1}^{m}, {b_{1}^{i}, b_{2}^{i} . . . b_{l_{i - 1}}^{i}}_{i = 1}^{k} \in F$ ，满足

\begin{matrix} (5) & a^{i^{'}} v_{i^{'}} + b_{j}^{i} B^{j} (x_{i}) = 0, \end{matrix}

其中

j \in [0, l_{i - 1}], i \in [1, k], i^{'} \in [1, m]

，式子采用爱因斯坦求和约定。

　　两边各乘以 $B$ ，则有：

\begin{matrix} (6) & b_{j}^{i} B^{j} (x_{i}) = 0, \end{matrix}

此时

j \in [1, l_{i - 2}]

。由题设知

B^{j} (x_{i})

线性无关，则系数为

0

，代入式 5 得：

\begin{matrix} (7) & a_{i} v_{i} + b_{l_{i - 1}}^{i} B^{l_{i - 1}} (x_{i}) = 0 . \end{matrix}

　　这是 $\ker B$ 的 basis，所以系数为 $0$ 。因此式 5 的所有系数为 0，所证向量组线性无关，和为直和。又因为这组基包含了 $B$ 的核与象，由 $\dim V = \dim \ker B + \dim Im B$ 知，这组基张成了整个线性空间。由于 $B v_{i} = 0$ ，则 $Span v_{i}$ 都是 $B$ 的一维循环子空间，定理得证。

1. ^ 引自 Jier Peter 的《代数学基础》

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