幂零线性变换的 Jordan（若尔当）标准形

贡献者：叶月2_

　　尽管复数域可以保证 $n$ 阶矩阵的特征多项式都有 $n$ 个解，但因为原则上几何重数可以小于代数重数，所以不是所有矩阵都有 $n$ 个线性无关的特征向量从而可以对角化。为了简化问题，我们需要 “简化” 矩阵（找一组基，使得矩阵在该基下有比较简单且规律的形式，比较多 $0$）。定理 3 保证我们线性变换都有分块对角矩阵的形式。与之比较，“Jordan 标准形” 是更加简化的形式。为拓展至任意线性变换，本节先从较为简单的幂零线性变换入手。

1. 循环子空间

　　设矩阵 $B$ 为线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即对于任意非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，总存在非负整数 $k$ 使得 $B^{k}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 且 $B^{k-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\neq \boldsymbol{\mathbf{0}} $。可以证明，$\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 线性无关。

习题 1　

　　证明：$ \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 张成线性空间，并证明这是 $B$ 的不变子空间。

　　设 $W= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$，将幂零变换 $B$ 限制在该不变子空间上，记为 $B|_W$。则每一列可表示为：$(B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^k \boldsymbol{\mathbf{x}} )$，即：

\begin{equation} \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right)~. \end{equation}

　　假设该子空间为 4 维。输入 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(1\,0\,0\,0)^T$，得到 $B \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,1\,0\,0)^T$。输入 $B \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,1\,0\,0)^T$，得到 $B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,0\,1\,0)^T$。显然，$B$ 可以对基进行循环，因此把这种形式的基向量组 $ \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 称为循环基（cyclic basis），$W$ 为 $B$ 的循环子空间（cyclic subspace）。

　　称形如式 1 的矩阵为Jordan（若当）块，由若当块直和而成的矩阵为 Jordan(若当)形矩阵。本节的主要目的便是证明：复数域上的幂零变换总可以表示为 Jordan 矩阵。下面的讨论默认在复数域上。

2. 幂零变换的循环子空间分解

预备知识　不变子空间

　　由于 Jordan 表示是分块对角矩阵，对角块（Joradan 块）是循环子空间，则 $B$ 有 Jordan 形表示等价于 $V$ 可分解为 $B$ 的循环子空间之直和。因此我们需要证明：

定理 1　

　　若 $B$ 是 $V$ 上的幂零线性变换，则 $V$ 总可以分解为 $B$ 的循环子空间之直和。

　　 Proof.

　　用归纳法证明¹。当线性空间维度为 1 时，由 $B$ 的定义可知定理显然成立。现设定理对维度小于 $n$ 时成立，设 $ \operatorname {dim}V=n$，需要利用该假设证明定理在此维度下成立。

　　由于 $B$ 可以在 $ \operatorname {Im}B$ 上分解为循环子空间的直和，即：

\begin{equation} \operatorname {Im}B=W_1\oplus W_2\oplus...\oplus W_k~, \end{equation}

　　令 $W_i= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i,B( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i),B^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)...B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}$，有 $B^{l_i}|_{W_i}=0,i=1,2...k$。由于 $B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\in \operatorname {ker}B$，因此可以扩充 $\{B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^k_{i=1}$ 至 $ \operatorname {ker}B$ 的一组基：

\begin{equation} \operatorname {ker}B= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \}^m_{i=1}\cup \{B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^k_{i=1}~, \end{equation}

　　接下来我们证明：

\begin{equation} V=\bigoplus ^m_{i=1} \operatorname {Span} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\oplus W_1\oplus W_2\oplus...\oplus W_n~, \end{equation}

证明分两步，一是证明基矢组 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \}^m_{i=1}\cup \{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i,B( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i),B^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)...B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^{k}_{i=1}$ 线性无关，其次是张成 $V$。

　　设 $\{a_i\}^m_{i=1},\{b^i_1,b^i_2...b^i_{l_{i-1}}\}^{k}_{i=1}\in\mathbb F$，满足

\begin{equation} a^{i'} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{i'}+b^i_jB^{j}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~, \end{equation}

其中 $j\in[0,l_{i-1}],i\in[1,k],i'\in[1,m]$，式子采用爱因斯坦求和约定。

　　两边各乘以 $B$，则有：

\begin{equation} b^i_jB^{j}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~, \end{equation}

此时 $j\in[1,l_{i-2}]$。由题设知 $B^j( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)$ 线性无关，则系数为 $0$，代入式 5 得：

\begin{equation} a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i+b^i_{l_{i-1}}B^{l_{i-1}}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

　　这是 $ \operatorname {ker}B$ 的 basis，所以系数为 $0$。因此式 5 的所有系数为 0，所证向量组线性无关，和为直和。又因为这组基包含了 $B$ 的核与象，由 $\dim V=\dim \ker B+\dim \operatorname{Im} B$ 知，这组基张成了整个线性空间。由于 $B \boldsymbol{\mathbf{v}} _i=0$，则 $ \operatorname {Span} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 都是 $B$ 的一维循环子空间，定理得证。

1. ^ 引自 Jier Peter 的《代数学基础》

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