哈尔滨工业大学 2010 年 考研 量子力学

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1. 共 50 分，每小题 10 分

1. 证明：若 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 均为厄米算符，则 $i[\hat{A},\hat{B}]$ 也为厄米算符
2. 设氢原子在 $t=0$ 时出于状态
   
   求其能量、角动最平方及角动量 $Z$ 分量的的可能取值
3. 若一个算符与角动量算符 $\hat{j}$ 的两个分量对易，则其必与 $\hat{j}$ 的另一个分量对易。

2. (15 分)

　　 对于一个系统，力学量算符 $\hat{A}$ 与哈密顿算符 $\hat{H}$(不易含时间 $t$)不对易，已知 $\hat{A}$ 的两个本征值为 $a_1$ 和 $a_2$,相应的本征函数分别为： $${\psi }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1+{\phi }_2),{\psi }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1-{\phi }_2)$$ 其中 ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$ 为本征函数, 相应的本征值分别为 $E_1$ 和 $E_2$. 若 $t=0$ 时, 系统处于 ${\psi }_1$ 态, 求 $t$ 时刻力学量 $\hat{A}$ 的平均值.

3. (15 分)

　　 设 $E_m$ 为系统哈密顿量的本征值, 相应的本征矢为 $|m⟩$, $\hat{F}(\overrightarrow{r},\hat{\overrightarrow{p}})$ 为一厄米算符. 证明: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(E_n-E_0)|F_n{|}^2=\frac{1}{2}⟨j|[\hat{F},[\hat{H},\hat{F}]]|j⟩$$

4. (15 分)

　　 设 $${\phi }_1(x)=a{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}\text{和}{\phi }_2(x)=b(x^2+Ax+B)e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$$ 是某粒子一推束缚态的两个定态本征函数，其中 $a,b,\alpha$ 为已知实常数 $-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$。求这两个束缚态的能级差，并确定实常数 $A$ 和 $B$。

5. (15 分)

　　 线性谐振子的哈密顿量为 $\hat{H}=(\hat{N}+\frac{1}{2})\hslash \omega$，其中 $\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$，而 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$，满足 $[\hat{a},\hat{a}]=[{\hat{a}}^{†},{\hat{a}}^{†}]=0$。

　　 (1) 设 $m$ 为正整数，证明： $$[\hat{N},({\hat{a}}^{†}{)}^m]=-m({\hat{a}}^{†}{)}^m$$ $$[\hat{N},(\hat{a}{)}^m]=m(\hat{a}{)}^m$$

　　 (2) 若 $|n⟩$ 是 $\hat{H}$ 的归一化本征矢，$\hat{a}|0⟩=0$，$|n⟩=N_n({\hat{a}}^{†}{)}^n|n⟩$，求因子 $N_n$。

　　 (3) 若外加一微扰，$\widehat{H^{\prime }}=g{\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^{†}\hat{a}\hat{a}$，$g$ 为系数，求能量的一阶近似值。

6. (20 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0\le x\le a\\ \\ \mathrm{\infty }& x<0,x>a\end{array}$$ 中运动，求其能量本征值和波函数。如果粒子原来处于基态，设想突然使 $a\to \mathrm{\infty }$，则此后时间粒子动量的大小在 $p$ 到 $p+dp$ 之间的概率是多少？

7. (20 分)

　　 一个自旋为 $\frac{1}{2}$、磁矩为 $\mu$ 的粒子处于磁场 $\overrightarrow{B}$ 中, $$\overrightarrow{B}=B_0\cos \left(\omega t\right){\overrightarrow{e}}_x-B_1\sin \left(\omega t\right){\overrightarrow{e}}_y+B_2{\overrightarrow{e}}_z$$

　　 设 $t=0$ 时，粒子处于 $m=\frac{1}{2}$ 的状态，求 $t>0$ 时，发现粒子处于 $m=-\frac{1}{2}$ 状态的概率。