哈尔滨工业大学 2008 年 考研 量子力学

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1. 二、(20 分)

　　 $t=0$,时，其归一化的波函数为:

　　 $$\psi (x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos \frac{\pi x}{a})\sin \frac{\pi x}{a}$$ 求:(1)$t>0$ 时，粒子的状态波甬数 $\psi (x,t)$:

(2)$t=0$ 及 $t=t_0$,时系统的平均能量:

(3)$t=0$ 及 $t=t_0$ 时,在 $0\le x\le \frac{a}{0}$ 的区域内发现粒子的概率

2. 三、(20 分)

　　 已知 $l=1$ 时，$L_z$ 的本征函数在坐标表象中用球函数客示为

　　 $$Y_{1,-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{-i\varphi }$$ $$Y_{1,0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$$ $$Y_{1,1}=-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{i\varphi }$$ 写出 $l=1$ 时，$\widehat{L_x}$, 和 ${\hat{L}}_y$

3. 四、(20 分)

　　 某力学量的算符 $\hat{A}$ 有两个归一化的本征函数 ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$，相应的本征值分别为 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$；另一个力学量的算符 $\hat{B}$ 也有两个归一化的本征函数 ${\chi }_1$ 和 ${\chi }_2$，相应的本征值分别为 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$。已知： $${\phi }_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(4{\chi }_1+3{\chi }_2),{\phi }_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(3{\chi }_1-4{\chi }_2)$$

　　 在某状态下，测量力学量 $A$ 后得到的结果为 ${\alpha }_1$；若在此之后再测量力学量 $\hat{}$，接着再一次测量力学量 $\hat{A}$，则第二次测量 $\hat{A}$ 得到结果为 ${\alpha }_1$ 的概率为多少？

4. 五、(20 分)

　　 某体系的哈密顿算符为 $\hat{H}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \\ 0& 3& 0\\ \\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，对应的能量分别为 $1,3,2$。

　　 (1) 若 $a\ll 1$，用微扰论论求 $\hat{H}$ 本征值的近似结果（二级微扰理论）。

　　 (2) 求 $\hat{H}$ 的精确本征值。

　　 (3) 在什么条件下，(1) 与 (2) 的结果一致。

5. 六、(20 分)

　　 有一电子处于确定的自旋态 $|\psi ⟩$，已知在此自旋态中 $S_z$ 取 $\frac{\hslash }{2}$ 的概率是 $\frac{1}{3}$，$x_y$ 取 $\frac{\hslash }{2}$ 的概率是 $\frac{1}{6}$,而且 $x_x$ 的平均值小于零，求 ${\hat{S}}_x$ 取 $\frac{\hslash }{2}$ 的概率是多少？