哈尔滨工业大学 2013 年 考研 量子力学

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1. (共 60 分，每小题 10 分)

1. 简单描述玻尔子模型理论的基本假设。由于验证了玻尔理论而获得诺贝尔物理学奖的著名物理学家是谁？实验证明了什么？
2. 系统的哈密顿算符为 $$\hat{H} = \frac{p^2}{2\mu} + V(x),~$$ 计算 $$\left[e^{ikx}[\hat{H}e^{-ikx}]\right],~$$ 式中 $a$ 为常数。
3. 线谐振子在 $t = 0$ 时处于 $$ \psi(x, 0) = \frac{1}{2}\varphi_0(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\varphi_1(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\varphi_3(x)~ $$ 态中，其中 $\varphi_n(x)$ 为第 $n$ 能量本征态对应的本征函数。
   (1).求在 $\psi(x, 0)$ 态上能量的可测值、取值概率与平均值；
   
   (2).写出 $t > 0$ 时刻的波函数及各能量取值概率与平均值。
   
   
4. 平移算符 $\hat{D}(a)$ 的定义为 $\hat{D}(a)\varphi(x) = \varphi(x + a)$，证明 $\hat{D}(a)$ 可以用动量算符表示。
5. 证明：若一个 $2 \times 2$ 矩阵与 $2 \times 2$ 泡利矩阵均匀，则此 $2 \times 2$ 矩阵必可写为单位矩阵与一个常数之积。
6. 求厄米（Hermite）算符 $\hat{F} = \alpha\hat{p} + \beta\hat{x}$ 的本征值为 $f$ 本征态。

2. (15 分)

　　 失量算符 \[ \hat{j} = \frac{1}{2} \left( \delta(\vec{r} - \vec{r}') \frac{\hat{\vec{p}}}{m} + \frac{\hat{\vec{p}}}{m} \delta(\vec{r} - \vec{r}') \right)~ \] 式中 $\hat{p}$ 为动量算符，证明算符 $\hat{\vec{j}}$ 为厄米（Hermite）算符，并求出它在态 $\psi(\vec{r})$ 下的平均值的表达式。

3. (15 分)

　　 设 $|m\rangle$ 和 $|n\rangle$ 为 $\hat{L}_z$ 的两个本征态，本征值分别为 $m\hbar$ 和 $n\hbar$，求矩阵元 $\langle m| \hat{L}_x |n \rangle$ 和 $\langle m| \hat{L}_y |n \rangle$ 的关系，并给出矩阵元不为零的条件。

4. (20)

　　 质量为 $\mu$ 的粒子在一维势场中运动，若其哈密顿量的一个本征函数为 \[ \varphi(x) = a x \exp \left( -\frac{1}{2}b^2 x^2 \right)~ \] 其中 $a, b$ 为实常数。求粒子所处的势场。

5. (20 分)

　　 设系统的哈密顿量可以写为 $$H = \begin{pmatrix} E^0_1 + a & b \\\\ b & E^0_2 + a \end{pmatrix}~$$ 其中 $a$ 和 $b$ 为实常量，且远小于 $E^0_1$。利用微扰论求能量的二级近似，并与精确结果作比较。

6. (20 分)

　　 两个自旋均为 $\frac{1}{2}$ 的粒子组成一个复合系统，$A$ 粒子处于 $A$ 的自旋 $z$ 分量 $S_z=\frac{1}{2}\hbar$ 的本征态，$B$ 粒子处于 $B$ 的自旋 $x$ 分量 $S_x=\frac{1}{2}\hbar$ 的本征态。求发现系统总自旋为零的概率。