哈尔滨工业大学 2013 年 考研 量子力学

                     

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1. (共 60 分,每小题 10 分)

  1. 简单描述玻尔子模型理论的基本假设。由于验证了玻尔理论而获得诺贝尔物理学奖的著名物理学家是谁?实验证明了什么?
  2. 系统的哈密顿算符为 H^=p22μ+V(x),  计算 [eikx[H^eikx]],  式中 a 为常数。
  3. 线谐振子在 t=0 时处于 ψ(x,0)=12φ0(x)+32φ1(x)+12φ3(x)  态中,其中 φn(x) 为第 n 能量本征态对应的本征函数。
    (1).求在 ψ(x,0) 态上能量的可测值、取值概率与平均值;

    (2).写出 t>0 时刻的波函数及各能量取值概率与平均值。

  4. 平移算符 D^(a) 的定义为 D^(a)φ(x)=φ(x+a),证明 D^(a) 可以用动量算符表示。
  5. 证明:若一个 2×2 矩阵与 2×2 泡利矩阵均匀,则此 2×2 矩阵必可写为单位矩阵与一个常数之积。
  6. 求厄米(Hermite)算符 F^=αp^+βx^ 的本征值为 f 本征态。

2. (15 分)

   失量算符 j^=12(δ(rr)p^m+p^mδ(rr))  式中 p^ 为动量算符,证明算符 j^ 为厄米(Hermite)算符,并求出它在态 ψ(r) 下的平均值的表达式。

3. (15 分)

   设 |m|nL^z 的两个本征态,本征值分别为 mn,求矩阵元 m|L^x|nm|L^y|n 的关系,并给出矩阵元不为零的条件。

4. (20)

   质量为 μ 的粒子在一维势场中运动,若其哈密顿量的一个本征函数为 φ(x)=axexp(12b2x2)  其中 a,b 为实常数。求粒子所处的势场。

5. (20 分)

   设系统的哈密顿量可以写为 H=(E10+abbE20+a)  其中 ab 为实常量,且远小于 E10。利用微扰论求能量的二级近似,并与精确结果作比较。

6. (20 分)

   两个自旋均为 12 的粒子组成一个复合系统,A 粒子处于 A 的自旋 z 分量 Sz=12 的本征态,B 粒子处于 B 的自旋 x 分量 Sx=12 的本征态。求发现系统总自旋为零的概率。


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