哈尔滨工业大学 2013 年 考研 量子力学

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1. (共 60 分，每小题 10 分)

1. 简单描述玻尔子模型理论的基本假设。由于验证了玻尔理论而获得诺贝尔物理学奖的著名物理学家是谁？实验证明了什么？
2. 系统的哈密顿算符为 $$\hat{H}=\frac{p^2}{2\mu }+V(x),$$ 计算 $$[e^{ikx}[\hat{H}{e}^{-ikx}]],$$ 式中 $a$ 为常数。
3. 线谐振子在 $t=0$ 时处于 $$\psi (x,0)=\frac{1}{2}{\phi }_0(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_1(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}{\phi }_3(x)$$ 态中，其中 ${\phi }_n(x)$ 为第 $n$ 能量本征态对应的本征函数。
   (1).求在 $\psi (x,0)$ 态上能量的可测值、取值概率与平均值；
   
   (2).写出 $t>0$ 时刻的波函数及各能量取值概率与平均值。
   
   
4. 平移算符 $\hat{D}(a)$ 的定义为 $\hat{D}(a)\phi (x)=\phi (x+a)$，证明 $\hat{D}(a)$ 可以用动量算符表示。
5. 证明：若一个 $2\times 2$ 矩阵与 $2\times 2$ 泡利矩阵均匀，则此 $2\times 2$ 矩阵必可写为单位矩阵与一个常数之积。
6. 求厄米（Hermite）算符 $\hat{F}=\alpha \hat{p}+\beta \hat{x}$ 的本征值为 $f$ 本征态。

2. (15 分)

　　 失量算符 $$\hat{j}=\frac{1}{2}(\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{\hat{\overrightarrow{p}}}{m}+\frac{\hat{\overrightarrow{p}}}{m}\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }))$$ 式中 $\hat{p}$ 为动量算符，证明算符 $\hat{\overrightarrow{j}}$ 为厄米（Hermite）算符，并求出它在态 $\psi (\overrightarrow{r})$ 下的平均值的表达式。

3. (15 分)

　　 设 $|m⟩$ 和 $|n⟩$ 为 ${\hat{L}}_z$ 的两个本征态，本征值分别为 $m\hslash$ 和 $n\hslash$，求矩阵元 $⟨m|{\hat{L}}_x|n⟩$ 和 $⟨m|{\hat{L}}_y|n⟩$ 的关系，并给出矩阵元不为零的条件。

4. (20)

　　 质量为 $\mu$ 的粒子在一维势场中运动，若其哈密顿量的一个本征函数为 $$\phi (x)=ax\exp (-\frac{1}{2}{b}^2{x}^2)$$ 其中 $a,b$ 为实常数。求粒子所处的势场。

5. (20 分)

　　 设系统的哈密顿量可以写为 $$H=\left(\begin{array}{cc}{E}_1^0+a& b\\ \\ b& E_2^0+a\end{array}\right)$$ 其中 $a$ 和 $b$ 为实常量，且远小于 $E_1^0$。利用微扰论求能量的二级近似，并与精确结果作比较。

6. (20 分)

　　 两个自旋均为 $\frac{1}{2}$ 的粒子组成一个复合系统，$A$ 粒子处于 $A$ 的自旋 $z$ 分量 $S_z=\frac{1}{2}\hslash$ 的本征态，$B$ 粒子处于 $B$ 的自旋 $x$ 分量 $S_x=\frac{1}{2}\hslash$ 的本征态。求发现系统总自旋为零的概率。