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设 $t=0$ 时氢原子处于如下的状态上 $$\Psi(r, \theta, \phi; 0) = -\frac{1}{2} R_{21}(r) Y_{10} (\theta, \phi) - \frac{1}{\sqrt{2}} R_{31}(r) Y_{10} (\theta, \phi) - \frac{1}{\sqrt{2}} R_{21}(r) Y_{1,-1} (\theta, \phi)~$$ 求其能量、轨道角动量平方及轨道角动量 Z 分量的可能取值、相应的取值概率与平均值,写出任意 r 时刻的波函数。
质量为 $m$ 的粒子在一维势阱 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -V_0, & 0 \leq x \leq a \\ \infty, & x > a \end{cases}~ \] 中运动，试求出其能量本征值与相应的本征波函数。
导出坐标算符在动量表象中的形式，$\hat{\vec{r}} = i\hbar\overline{\nabla}$
证明两个泡利算符 $\hat{\vec{\sigma}}_1$ 与 $\hat{\vec{\sigma}}_2$ 满足
$$(\hat{\vec{\sigma}}_1 \cdot \hat{\vec{\sigma}}_2)^2 = 3 - 2 (\hat{\vec{\sigma}}_1 \cdot \hat{\vec{\sigma}}_2)~$$
并由此求出 $\hat{\vec{\sigma}}_1 \cdot \hat{\vec{\sigma}}_2$ 的本征值。提示：
$$ \left( \hat{\vec{\sigma}} \cdot \hat{\vec{A}} \right) \left( \hat{\vec{\sigma}} \cdot \hat{\vec{B}} \right) = \hat{\vec{A}} \cdot \hat{\vec{B}} + i \hat{\vec{\sigma}} \cdot ( \hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}}), ~$$
式中，$\hat{\vec{A}}, \hat{\vec{B}}$ 为任意两个与 $\hat{\vec{\sigma}}$ 对易的矢量算符。
若顾及相对论的质能关系，则体系的哈密顿算符可以近似写成 $$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(\vec{r})-\frac{\hat{p}^4}{8\mu^3c^2}~$$ 式中，$\mu$ 为粒子的质量，$c$ 为光速。如果与 $\hat{p}^4$ 相关的项可以视为微扰的话，用微扰微扰论计算线谐振子的能量一级修正。
在线谐振子的基底 $ \left\lvert n \right\rangle $ 下，$x^4$ 的对角矩阵元为 $\langle n|x^4|n\rangle = \frac{3}{4\alpha^4} \left(2n^2 + 2n + 1 \right)$,
其中，$\alpha^2 = \frac{\mu\omega}{\hbar}$.
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