哈尔滨工业大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 二、(20 分)

　　 设 $t=0$ 时氢原子处于如下的状态上 $$\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\varphi ;0)=-\frac{1}{2}{R}_{21}(r)Y_{10}(\theta ,\varphi )-\frac{1}{\sqrt{2}}{R}_{31}(r)Y_{10}(\theta ,\varphi )-\frac{1}{\sqrt{2}}{R}_{21}(r)Y_{1,-1}(\theta ,\varphi )$$ 求其能量、轨道角动量平方及轨道角动量 Z 分量的可能取值、相应的取值概率与平均值,写出任意 r 时刻的波函数。

2. 三、(20 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维势阱 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ -V_0,& 0\le x\le a\\ \mathrm{\infty },& x>a\end{array}$$ 中运动，试求出其能量本征值与相应的本征波函数。

3. 四、(20 分)

　　 导出坐标算符在动量表象中的形式，$\hat{\overrightarrow{r}}=i\hslash \bar{\mathrm{\nabla }}$

4. 五、(20 分)

　　 证明两个泡利算符 ${\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_1$ 与 ${\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_2$ 满足

　　 $$({\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_1\cdot {\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_2{)}^2=3-2({\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_1\cdot {\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_2)$$

　　 并由此求出 ${\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_1\cdot {\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_2$ 的本征值。提示：

　　 $$(\hat{\overrightarrow{\sigma }}\cdot \hat{\overrightarrow{A}})(\hat{\overrightarrow{\sigma }}\cdot \hat{\overrightarrow{B}})=\hat{\overrightarrow{A}}\cdot \hat{\overrightarrow{B}}+i\hat{\overrightarrow{\sigma }}\cdot (\hat{\overrightarrow{A}}\times \hat{\overrightarrow{B}}),$$

　　 式中，$\hat{\overrightarrow{A}},\hat{\overrightarrow{B}}$ 为任意两个与 $\hat{\overrightarrow{\sigma }}$ 对易的矢量算符。

5. 六、(20 分)

　　 若顾及相对论的质能关系，则体系的哈密顿算符可以近似写成 $$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2\mu }+V(\overrightarrow{r})-\frac{{\hat{p}}^4}{8{\mu }^3{c}^2}$$ 式中，$\mu$ 为粒子的质量，$c$ 为光速。如果与 ${\hat{p}}^4$ 相关的项可以视为微扰的话，用微扰微扰论计算线谐振子的能量一级修正。

　　 在线谐振子的基底 $|n⟩$ 下，$x^4$ 的对角矩阵元为 $⟨n|x^4|n⟩=\frac{3}{4{\alpha }^4}(2n^2+2n+1)$,

　　 其中，${\alpha }^2=\frac{\mu \omega }{\hslash }$.