哈尔滨工业大学 2005 年 考研 量子力学

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1. 一、(50 分)完成下列问题

1. 试说明量子力学与经典力学的差异与关系。
2. 简述量子力学的基本原理。
3. 何为运动粒子的波粒两象性，写出德布罗意关系的表达式。
4. 分别说明什么样的状态是定态、束缚态、简并态与负字称态?
5. 证明坐标 $x$ 与动量算符 $\hat{p}_x$,的对易关系 $[x,\hat{p}_x]=i\hbar$,并给出两者满足的不确定关系式。
6. 在坐标表象中，分别给出坐标算符 $\hat{\vec{r}}$，与动量算符 $\hat{\vec{p}}$ 的本征值和本征波函数。
8. 在量子力学中，一个可观测量与一个什么样的算符相对应?为什么?该算符的本征值与本征波函数分别具有什么性质。
9. 设体系由两个自旋皆为 $\frac{\hbar}{2}$ 一的非全同粒子构成，分别在非耦合表象与耦合表象下写出该体系与自旋相关的波函数，并给出两者之间的关系。
10. 对于一维运动而言，试说明如下两种情况的本征解的异同
    (1)处于宽度为 $2l$ 的无限深对称方势阱中粒子;
    (2)在 $-l\leq x \leq1$ 区间做 “箱归一化” 的自由粒子。

2. 二、(20 分)

　　 已知 $t=0$ 时粒子处于状态 $$\psi(x,0) = \frac{1}{3} \varphi_2(x) \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix} -\frac{2}{3} \varphi_1(x) \begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \end{pmatrix} + \frac{\sqrt{2}}{3} \varphi_3(x) \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix}~$$ 其中, $\varphi_n(x)$ 为该氢原子的第 $n$ 个能量本征态。求能量及自旋 $z$ 分量的取值概率与平均值写出 $t>0$ 时的波函数。

3. 三、(20 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子处于一维勢阱 $$V(x) = \begin{cases} -V_0 & |x| < \frac{a}{2} \\\\ 0 & |x| \geq \frac{a}{2} \end{cases}~ $$ 中,式中以 $V>0$。求其束缚态能量本征值满足的超越方程。

4. 四、(20 分)

　　 证明如下关系式

　　 (1)当哈密顿算符$$\hat{H} = \frac{1}{2m}\hat{p}_x^2 + V(x), \quad \frac{d}{dt} \langle x^2 \rangle = \frac{1}{m} \langle x \hat{p}_x + \hat{p}_x x \text{式中 m 为粒子质量}~$$

　　 (2)任意角动量算符 $\hat{j}$, 满足 $\hat{j} \times \hat{j} = i\hbar \hat{j}$.

5. 五、(20 分)

　　 在 $L^2$ 与 $L_z$ 表象下，在轨道角动量量子数 $l=1$ 的子空间中，分别计算算符 $L_x,L_y$ 与 $L_z$ 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。

6. 六、(20 分)

　　 由两个质量皆为 $\mu$，角频率皆为 $\omega$ 的线谐振子构成的体系，加上微扰项 $\hat{W} = -ix_1 x_2$（$x_1$, $x_2$ 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至三级修正、第一激发态能量至一级修正。

　　 提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

　　 $$\langle m | x | n \rangle = \frac{1}{\alpha} \left[ \sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m,n-1} + \sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m,n+1} \right]~$$

　　 式中，$\alpha = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}}$。