哈尔滨工业大学 2004 年 考研 量子力学

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1. 一、(40 分)回答下列问题

1. 简述运动粒子的波动一粒子两象性。
2. 波函数 $\psi(\vec{r},t)$ 是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条件?$|\psi(\vec{r},t|^2$,的物理含义是什么?
3. 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?
4. 物理上可观测量应该对应什么样的算符?为什么?
5. 直接写出对易关系 $[x,\hat{p}]$，并给出两者满足的不确定(测不准)关系式。
6. 一个粒子处于长、宽、高分别为 $a,b,c$ 的方形盒子中，设其所处的状态用波函数 $\psi(x,y,z)$ 来描述，问该粒子处于盒子的上三分之一空间中的几率是多少?
7. 已知一个哈密顿算符 $\hat{H}_0$ 的解，即 $\hat{H}_0\psi_n(x)=E^0_n\psi_0(x)$,试给出 $\hat{H}=\hat{H}_0\pm V_0$ 的解，式中 $V_0$ 已为实常数。
8. 设有两个自由电子，已知甲电子的运动速度是乙电子的 3 倍，求出两者德布罗意波长之比。

2. 二、(25 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子，处于宽度为 $a$ 的一维非对称无限深方势阱中，设 $t=0$ 时粒子处于状态 $$\psi(x,0) = \frac{1}{3} \varphi_0(x) \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix} -\frac{2}{3} \varphi_1(x) \begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \end{pmatrix} + \frac{\sqrt{2}}{3} \varphi_1(x) \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix}~$$

3. 三、(25 分)

　　 设粒子处于一维势阱之中

　　 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -V_0, & 0 \leq x \leq a \\ 0, & x > a \end{cases}~ \] 式中，$V_0>0$。导出其能量本征值 $-V_0< E<0$ 时满足的超越方程。

4. 四、(20 分)

　　 一维体系的哈密顿算符 $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(x)$ 不显含时间，在能量表象中证明:

　　 (1)、$$P_{mn}=\frac{\mu}{i\hbar}(E_n-E_m)x_{mn}~$$

　　 (2)、$$\sum_n (E_m - E_n)^2 |x_{mn}|^2 = \frac{\hbar^2}{\mu^2} (p^2)_{mn}~$$

5. 五、(20 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$、固有磁矩为 $\vec{\mu} = \gamma \vec{s}$（$\gamma$ 为常数）的粒子，处于均匀外磁场 $\vec{B} = B_0 \vec{j}$ 中。设 $t = 0$ 时，粒子处于 $s_z = \frac{\hbar}{2}$ 的状态，求出 $t > 0$ 时的波函数，进而计算 $\hat{s}_x$ 的平均值。

6. 六、(20 分)

　　 一个电荷为 $q$、质量为 $\mu$ 和角频率为 $\omega$ 的线谐振子，受到恒定弱电场 $\xi$ 的作用，即 $\hat{W} = -q \xi x$，用微扰论求其能量近似到二级修正，波函数到一级修正。

　　 提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

　　 $$\langle m | \hat{x} | n \rangle = \frac{1}{\alpha} \left[ \sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m, n-1} + \sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m, n+1} \right]~$$ 式中， $$\alpha = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}}~$$