复旦大学 1998 量子真题

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　　 1. 原子核线度约 $10^{-13} \text{cm}$, 试用不确定性原理估算核内质子的动能。(以电子伏特为单位) (20 分)

　　 2. 一维无限深势阱中, 质量为 $m$ 的粒子在 $t=0$ 时的状态为 $\psi(x,0) = A \cos \frac{\pi x}{a} \left( \sin \frac{3 \pi x}{a} - 3 \sin \frac{\pi x}{a} \right)$ 其中 $a$ 为阱宽, $A$ 是归一化系数, 试求 (共 20 分)

• (a) $t$ 时刻粒子所在的状态;
  
  
• (b) $t>0$ 及 $t=0$ 时粒子的平均能量;
  
  
• (c) 若粒子在 $0 < x < \frac{a}{2}$ 中发现粒子的几率。
  

　　 3. 设氢原子处于 $\psi(r, \\theta, \\varphi) = \\frac{1}{\\sqrt{\\pi a^3}} e^{-r/a}$ 的 $a$ 是玻尔半径, 求

• (a) $r$ 的平均值;
  
  
• (b) 动量 $p$ 的几率分布函数。 (20 分)

　　 (4)一个电子在与磁场 $\mathbf{B}$ (沿 $z$ 轴) 垂直的平面内运动，取规范 $\mathbf{A} = (-By, 0, 0)$。试求此二维问题的哈密顿量和能量本征值。
(20 分)

　　 (5) 已知 $\hat{H} = E_0 \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}+ \epsilon \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1 \\\\1 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad \left( \epsilon \ll E_0 \right)$ 试用微扰论求能量 (准确到二级近似)。(20 分)