复旦大学 2014 量子真题

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1. 一，简要回答下列问题 (40 分)

　　 (1) 分别写出动量表示象 $p$ 和坐标表示象 $x$ 的薛定谔方程。

　　 (2) 由正则对易关系 $\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 导出角动量的三个分量 $\begin{aligned} L_x &= y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}, \\\\ L_y &= z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}, \\\\ L_z &= x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}\end{aligned}$ 的对易关系。

　　 (3) 氢原子中电子的状态必须用四个量子数才能确定。请问是哪四个量子数？它们的取值有何要求？它们分别决定了什么物理量？

　　 (4) 一个体系由两个自旋量子数为 $3/2$ 的全同粒子组成，则体系对称的自旋波函数和反对称的自旋波函数各有几个？

　　 (5) 两个力学量能够同时测准的条件是什么？试举例说明。

2. 二

　　 两个质量均为 $m$ 的粒子，在一维无限深势阱中 $V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0, x > a \\\\0, & 0 \leq x \leq a \end{cases}$

　　 中运动，彼此间无相互作用。它们可在最低能级和第一激发态能级上以可能的方式进行填充。当这两个粒子是：

　　 (1) 自旋为零的玻色粒子；

　　 (2) 自旋为半的全同费米粒子 (自旋 $1/2$)。时，讨论该双粒子体系的能量本征值和相应的本征波函数的对称性部分。(20 分)

3. 三

　　 设初始时刻一维自由粒子的波函数为

　　 $\phi(x,0) = Ae^{ikx - \alpha x^2}$

　　 其中 $k, \alpha$ 为常数，试求解以下问题：

　　 (1) 先计算积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2 \alpha x^2} dx$，从而找到所需积分公式以求出归一化系数 $A$；

　　 (2) 动力平均值 $\langle P \rangle$ 与动量分布函数 $c(p)$；

　　 (3) t 时刻的波函数 $\phi(x,t)$。(30 分)

4. 四

　　 设一个自旋为 1，电荷为 e 的粒子处于磁场 $\mathbf{B} = B \hat{e}_z$ 中，其哈密顿量为} $H = -\\mu \\cdot \\mathbf{B} = \frac{e}{mc} \mathbf{B} \cdot \mathbf{S}$

　　 其中自旋为 1 的三个自旋矩阵为 (在 $S^2, S_z$ 表象)

　　 $S_x = \frac{h}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\\\1 & 0 & 1 \\\\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad S_y = \frac{h}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & -i & 0 \\\\i & 0 & -i \\\\0 & i & 0 \end{pmatrix}, \quad S_z = h\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

　　 设时间 t=0 时粒子的自旋在 x 轴上的投影为 $+h$，试求 t > 0 时：

　　 (1) 粒子的自旋态 $z(t)$；

　　 (2) 粒子自旋在 x 轴投影仍然为 $+h$ 的几率；

　　 (3) 粒子自旋 $(S_x, S_y, S_z)$ 的平均值。(30 分)

5. 五

　　 一个由三个非全同的自旋为 $1/2$ 的粒子组成的体系，其哈密顿量为}

　　 $H = \frac{A}{h^2} \bar{S_1} \cdot \bar{S_2} + \frac{B}{h^2} (\bar{S_1} + \bar{S_2}) \cdot \bar{S_3}$

　　 $\bar{S_1}, \bar{S_2}, \bar{S_3}$ 分别为三个粒子的自旋算符，求体系的能级及各能级相应的简并度。(30 分)