复旦大学 2010 量子真题

贡献者：待更新

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　　 1) 取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为 $a$ ，求粒子的能级及波函数。

　　 2、1) 估算一维谐振子的基态能量

　　 2) 估算类氢原子的基态能量

　　 3、利用 $[a, a^{+}] = 1$ , \quad $[a, a] = [a^{+}, a^{+}] = 0$ , \quad $a | 0 ⟩ = 0$ 证明 $| n ⟩ = \frac{(a^{+})^{n}}{\sqrt{n!}} | 0 ⟩$

　　 4、两个自旋为 $\frac{1}{2}$ ，质量为 $m$ 的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为 $a > b > c$ 的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为 $V = A δ (r_{1} - r_{2})$ ；体系处于与下列条件相容的最低能级，试用一级微扰论计算体系能量

1)两个粒子是自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子
2)两个粒子是自旋 $\frac{1}{2}$ 的非全同粒子
3)两个粒子自旋为零

　　 5、有一个自旋 $\frac{1}{2}$ ，磁距 $μ$ ，电荷 0 的粒子，置于磁场 $B$ 中，开始时( $t = 0$ )磁场沿 z 方向， $B = (0, 0, B_{0})$ ，粒子处于 $σ_{z}$ 的本征态 ( )，即 $σ_{z} = 1$ ， $t > 0$ 时，再加上沿 x 方向的较弱的磁场 $B_{1} = (B_{1}, 0, 0)$ ，从而 $B = B + B_{1} = (B_{1}, 0, B_{0})$

　　求 t>0 时粒子的自旋态，以及测得自旋 “向上”( $σ_{z} = 1$ )的概率

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