复旦大学 2010 量子真题

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　　 1) 取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为 $a$，求粒子的能级及波函数。

　　 2、1) 估算一维谐振子的基态能量

　　 2) 估算类氢原子的基态能量

　　 3、利用 $[a,a^+]=1$, \quad $[a,a]=[a^+,a^+]=0$, \quad $a \left| 0 \right\rangle =0$ 证明 $\left| n \right\rangle = \frac{(a^+)^n}{\sqrt{n!}} \left| 0 \right\rangle$

　　 4、两个自旋为 $\frac{1}{2}$，质量为 $m$ 的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为 $a>b>c$ 的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为 $V=A\delta (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)$；体系处于与下列条件相容的最低能级，试用一级微扰论计算体系能量

• 1)两个粒子是自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子
• 2)两个粒子是自旋 $\frac{1}{2}$ 的非全同粒子
• 3)两个粒子自旋为零

　　 5、有一个自旋 $\frac{1}{2}$，磁距 $\mu$，电荷 0 的粒子，置于磁场 $B$ 中，开始时($t=0$)磁场沿 z 方向，$\mathbf{B}= \left( 0, 0, B_0 \right)$，粒子处于 $\sigma_z$ 的本征态 ( )，即 $\sigma_z = 1$，$t>0$ 时，再加上沿 x 方向的较弱的磁场 $\mathbf{B}_1 = \left( B_1, 0, 0 \right)$，从而 $\mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{B}_1 = \left( B_1, 0, B_0 \right)$

　　 求 t>0 时粒子的自旋态，以及测得自旋 “向上”($\sigma_z=1$)的概率