南京理工大学 2006 量子真题

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1. 填空题（每题 6 分）

　　 1.德布罗意关系为_________。

　　 2.写出量子力学五个基本假设中的两个_________。

　　 3.波函数的标准条件为_________。

　　 4.能量算符表达式为_________；栋梁算符表达式为_________。

　　 5.坐标和动量的对易关系为 $[x,p_x]=\underset{―}{}$; 测不准关系是 $(\mathrm{\Delta }x{)}^2\cdot (\mathrm{\Delta }{p}_x{)}^2\ge \underset{―}{}$。

　　 6.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度_________；考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_________。

　　 7.费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有性_________和_________性。

　　 8.原子跃迁的选择定则中角量子数应满足 $\mathrm{\Delta }l=\underset{―}{}$。磁量子数应满足 $\mathrm{\Delta }m=\underset{―}{}$。

　　 9.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 ${\psi }_s=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(x,y,z)\\ {\psi }_2(x,y,z)\end{array}\right)$（已归一化），则在态 $\psi$ 下，自旋算符_________。对自旋的平均可表示为 $G=\left(\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right)$ 对自旋的平均可表示为 $\underset{―}{}$；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为_________。

　　 10.算符 $\hat{Q}\text{的本征矢}|n⟩\text{组成完备系，则}|n⟩\text{的封闭性为}\underset{―}{}|n⟩\text{在以}|x⟩\text{为基矢的}x\text{表象中的分量}\mathrm{\Psi }(x,t)=\underset{―}{}$

2. 计算题（每题 15 分）请考生在下列 7 题中任选 6 题

　　 1. 一粒子在一维势场 $U(x)$ 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 $[U(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ 0,& 0\le x\le a\\ \mathrm{\infty },& x>a\end{array}$

　　 2. 氢原子处在基态 $\psi (r,\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-\frac{r}{a_0}}$，求在此态中：$r$ 的平均值；势能 $(-\frac{e^2}{r})$ 的平均值；动量几率分布函数。附： ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{{\alpha }^{n+1}}$

　　 3. 已知氢原子的电子波函数为 $\psi (r,\theta ,\phi ,s_z)=\sqrt{\frac{1}{4}}{R}_{31}(r)Y_{11}(\theta ,\phi ){\chi }_{1/2}(s_z)+\sqrt{\frac{3}{4}}{R}_{32}(r)Y_{20}(\theta ,\phi ){\chi }_{-1/2}(s_z)$ 求在 $\psi$ 态中测量氢原子能量 $E$、$l^2$、$l_z$、$S^2$、$s_z$ 的可能值和这些力学量的平均值。

　　 4. 一体系未受微扰时有三个能级 $E_1^{(0)}$, $E_2^{(0)}$, $E_3^{(0)}$, 现受一微扰 ${\hat{H}}^{\prime }$ 作用, 在 ${\hat{H}}^{(0)}$ 表象中, $\hat{H}={\hat{H}}^{(0)}+{\hat{H}}^{\prime }$ 的矩阵表示为 $\left(\begin{array}{ccc}{E}_1^{(0)}& 0& a\\ 0& E_2^{(0)}& b\\ a^{\ast }& b^{\ast }& E_3^{(0)}\end{array}\right)$ 试用微扰论求能级至二级修正。

　　 5. 一电子的哈密顿算符为 $\hat{H}=\frac{eB}{\mu c}{\hat{S}}_x$ 其中 $e,B$, $\mu ,c$ 为常量。
(1) 写出电子自旋 ${\hat{S}}_x$, ${\hat{S}}_y$ , ${\hat{S}}_z$ 在 $S_z$ 表象中的矩阵形式；并写出 ${\hat{S}}_x$ 的本征值和本征矢。
(2) 求电子的定态薛定谔方程的解(取 $S_x$ 表象),
(3) 若 $t=0$ 时，电子处于 $S_z=\hslash /2$ 的本征态 $\chi (t=0)={\chi }_{1/2}(S_z)$，写出 $t$ 时刻的状态 $\chi (t)$。

　　 6. 有有均匀电场作用在电荷为 $q$ 的线性谐振子上，这个电场可以看作是微扰，它与时间的关系为 $ϵ(t)=\frac{A}{\pi {\tau }^2}{e}^{-{\left(\frac{t}{\tau }\right)}^2}$, 其中 $A$ 为常数，$\tau >0$。微扰哈密顿算符为 ${\hat{H}}_i=-qϵ(t)x$。设在加上电场之前（即 $t=\mathrm{\infty }$），线性谐振子处于基态 ${\varphi }_0$，求电场作用结束时（即 $t=\mathrm{\infty }$）线性谐振子被激发到第一激发态 ${\varphi }_1$ 的几率，准确到一级近似。附： ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }};$

　　 逆推公式：$$\begin{gathered} x{\varphi }_n(x)=\sqrt{\hslash /(\mu \omega )}[\sqrt{(n+1)/2} \\ {\varphi }_{n+1}(x)+\sqrt{n/2} \\ {\varphi }_{n-1}(x)] \end{gathered}$$

　　 7. 一束自旋为 $1/2$ 的粒子，相继穿过三个斯特恩－革拉赫实验装置（如图三个装置分别为 $IS{G}_z$, $IIS{G}_n$, $IIIS{G}_z$）。$IS{G}_z$ 可使自旋 $S_z=\hslash /2$ 的粒子通过而选择 $S_z=-\hslash /2$ 的粒子。$IIS{G}_n$ 可使自旋 $S_n=\hslash /2$ 的粒子通过而选择 $S_n=\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}=\hslash /2$ 的粒子，$\mathbf{n}$ 为 $xz$ 平面内与 $z$ 轴成 $\theta$ 角方向的单位矢量。而 $IIIS{G}_z$ 可使自旋 $S_z=\hslash /2$ 的粒子通过而选择 $S_z=-\hslash /2$ 的粒子。

1. 求自旋算符 $S_n=\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}$ 的本征态。
2. 求穿过 $IIS{G}_n$ 后的粒子有多大概率可以从 $IIIS{G}_z$ 穿过。
3. 如何调整 $IIS{G}_n$ 的方向（即 $\theta$ 角）使穿过 $IIIS{G}_z$ 的粒子数最多？