复旦大学 2006 量子真题

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　　 复旦大学 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

　　 1. 一维谐振子处在第一激发态 $( \psi (x) = 2 \alpha x e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} $) 中，式中 $( \alpha = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}$)，$( m )$ 是振子质量，$(\omega)$ 是振动频率，求：

　　 (1) 动能的平均值和势能的平均值

　　 (2) 第一激发态几率最大的 x 位置 (30 分)

　　 2. 考虑自旋 $(\bar{S} = 1/2)$ 的体系

　　 (1) 在 $((S^2, S_z))$ 表象中求算符 $(\hat{O} = A S_y + B S_z^2 )$ 的本征值和归一化本征函数，其中 $( A, B )$ 为实常数

　　 (2) 假定此体系正处在 $(\hat{O})$ 算符的一个本征态中，求测量 $( S_y )$ 得到结果为 $(frac{\hbar}{2})$ 的几率 (30 分)

　　 3. 设能量为 $( E )$ 的粒子在边入射到深度为 $( V_0 )$ 的势垒，求障壁处的反射系数 (30 分) 4. 距离表面 $x$ 处的一个电子受到势场 $[U(x) = \begin{cases} -\frac{k}{x} & x > 0 \\\ \\infty & x \leq 0 \end{cases} \quad (k \text{为常数})$

　　 作用,略去自旋的影响,求
1) 基态能级和波函数
2) 现加入一个电场强度为 $E$ 的弱电场,用微扰论求基态能量到一级修正 { 30 分)

　　 5. 两个质量为 $m$ 的无相互作用的粒子处在宽度为 $a$ 的一维无穷深方势阱中运动
1) 写出体系四个最低能级的能量 (不必推导)
2) 分别求下述三种情况下的最低总能量:

• a) 自旋为 $1/2$ 全同粒子;
  
• b) 自旋为 $1/2$ 非全同粒子;
  
• c) 自旋为 $0$ 的全同粒子
  求出最低的四个能级的简并度 (需说明理由) (30 分)