复旦大学 2006 量子真题

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　　 复旦大学 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

　　 1. 一维谐振子处在第一激发态 $(\psi (x)=2\alpha x{e}^{-\frac{\alpha x^2}{2}}$) 中，式中 $(\alpha =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$)，$(m)$ 是振子质量，$(\omega )$ 是振动频率，求：

　　 (1) 动能的平均值和势能的平均值

　　 (2) 第一激发态几率最大的 x 位置 (30 分)

　　 2. 考虑自旋 $(\overline{S}=1/2)$ 的体系

　　 (1) 在 $((S^2,S_z))$ 表象中求算符 $(\hat{O}=A{S}_y+B{S}_z^2)$ 的本征值和归一化本征函数，其中 $(A,B)$ 为实常数

　　 (2) 假定此体系正处在 $(\hat{O})$ 算符的一个本征态中，求测量 $(S_y)$ 得到结果为 $(frac\hslash 2)$ 的几率 (30 分)

　　 3. 设能量为 $(E)$ 的粒子在边入射到深度为 $(V_0)$ 的势垒，求障壁处的反射系数 (30 分) 4. 距离表面 $x$ 处的一个电子受到势场 $[U(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{k}{x}& x>0\\ \\ infty& x\le 0\end{array}(k\text{为常数})$

　　 作用,略去自旋的影响,求
1) 基态能级和波函数
2) 现加入一个电场强度为 $E$ 的弱电场,用微扰论求基态能量到一级修正 { 30 分)

　　 5. 两个质量为 $m$ 的无相互作用的粒子处在宽度为 $a$ 的一维无穷深方势阱中运动
1) 写出体系四个最低能级的能量 (不必推导)
2) 分别求下述三种情况下的最低总能量:

• a) 自旋为 $1/2$ 全同粒子;
  
• b) 自旋为 $1/2$ 非全同粒子;
  
• c) 自旋为 $0$ 的全同粒子
  求出最低的四个能级的简并度 (需说明理由) (30 分)